.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Чтобы проверить, что какой-то набор в векторном пространстве является базисом, надо проверить две вещи: линейную независимость этого набора и выразимость, то есть то, что любой вектор пространства можно выразить как линейную комбинацию векторов этого набора.

1. Линейная независимость.

Пусть какая-то линейная комбинация -ых равна нулевому вектору пространства :

Но .
И . И так далее. И . Таким образом,

И мы имеем равенство

Но два набора равны, если равны все их компоненты.

Следовательно,

Таким образом, только тривиальная линейная комбинация векторов набора может быть равна нулевому вектору. Линейная независимость доказана.

2. Выразимость. Пусть - произвольный вектор из . Как его выразить в виде линейной комбинации векторов из набора ?

Ясно, что вот так:

И мы проверили выразимость.