.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

a) Поскольку мы знаем, что , то достаточно проверить, что набор векторов - линейно независим.

Рассмотрим произвольную их линейную комбинацию, равную нулевому вектору:

Или, если расписать это условие покомпонентно, то получится:

Приводя матрицу

в ступенчатый вид, получаем:

Откуда немедленно следует, что единственным решением данной системы является .

Таким образом, мы получаем, что любая линейная комбинация , равная нулю, тривиальна. Это и означает, что - линейно независима. А, значит, эти векторы образуют базис в .

b) Тот факт, что вектор имеет в базисе координаты по определению означает не что иное, как:

То есть

Ну и нам осталось выяснить, а какие координаты имеет вектор в стандартном базисе

Ну, разумеется, вектор имеет в базисе координаты . Почему? Вот почему:

То есть по определению.

Общее замечание. Вообще, вектор имеет координаты ТОЛЬКО ЛИШЬ в стандартном базисе . Во всех других базисах этот вектор будет иметь другие координаты.