.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Напомним определение:
Опр. Пусть 
- линейное пространство. Тогда непустое подмножество 
линейного
пространства 
называется линейным подпространством в 
, если выполнено 2 аксиомы:
1. 
выполнено, что 
.
2. 
, а также 
выполнено, что 
Задача. Доказать, что любое 
, являющееся подпространством в 
в смысле этого
определения, действительно само является линейным пространством, то есть удовлетворяет всем 8-ми
аксиомам линейного пространства.
Выпишем все 8 аксиом, которые нам нужно будет проверить для 
(ненумерованные аксиомы мы не выписываем, поскольку их мы и так потребовали в определении того,
что 
- подпространство в 
): 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
Проверяем:
1. Очевидно. Если это выполнялось для всех векторов из 
, то это будет выполняться и для всех
векторов из 
, т.к. 
.
2. Очевидно по той же самой причине.
3. А вот это уже нужно доказывать. Почему нулевой вектор будет лежать в 
? По очень простой
причине. Мы в определении потребовали, что 
. Следовательно, хотя бы один 
найдется.
Далее, 
должно быть замкнуто относительно умножения на любые 
. Ну, возьмем 
и
умножим его на этот самый 
. Во-первых, разумеется,
Во вторых, 
по второму условию в определении линейного подпространства. Ну и всё.
Следовательно, 
и эту аксиому мы тоже проверили.
4. Это тоже нужно доказывать. Берем произвольный 
. Поскольку 
замкнуто относительно
умножений на любые скаляры, то вектор
тоже будет 
. Но это и будет тот самый обратный к 
, поскольку
Все, значит, для любого 
в 
также лежит и обратный к 
.
5-8. Их выполнение очевидно по тем же причинам, по которым было очевидно выполнение 1-2. Ежели
эти аксиомы выполнялись для всех векторов из 
, то уж и тем более для всех векторов из
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
