Войти через ВК
Каталог курсов
Каталог задач
Отзывы
Акции
О нас
Контакты
Благотворительность
Обратная связь
Политика конфиденциальности
Сведения об образовательной организации
Договор оферты
Партнерам
Телефон
Telegram
Вконтакте
Каталог задач
Отзывы
Акции
Контакты
Тема . Линал и алгебра.

.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела линал и алгебра.
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#96899

Пусть v1,...,vk ∈ V . Пусть rk {v1,...,vk} = r , и предположим, не теряя общности, что последние k − r векторов среди v1,...,vk выражаются через остальные (если r = k , то просто-напросто никакие не выражаются).

Задача. Доказать, что

span{v1,...,vk} = span {v1,...,vr}

Комментарий. В этом и смысл поиска базиса в span{v1,...,vk} . Мы можем удалить линейно зависимые векторы из набора {v1,...,vk} , и оставшиеся {v1,...,vr} все равно породят то же самое подпространство.

Показать доказательство

Включение

span{v1,...,vk} ⊃ span {v1,...,vr}

- очевидно (поскольку то, что мы можем породить подсистемой из {v1,...,vk} , мы можем, конечно, породить и всеми {v1,...,vk} ).

Докажем включение в обратную сторону, то есть

span{v1,...,vk} ⊂ span {v1,...,vr}

Итак, пусть x ∈ span {v1,...,vk} . Тогда x является их линейной комбинацией, то есть найдутся такие λ1,...,λk , что

x = λ1v1 + ...+ λkvk

Далее, мы знаем по условию, что

vr+1, vr+2,...,vk

линейно выражаются через v1,...,vr .

То есть

vr+1 = α1v1 + ...+ αrvr

...

vk = τ1v1 + ...+ τrvr

Но тогда просто будем всякий раз подставлять эти выражения vr+1,...,vk через v1,...,vr в выражение для

x = λ1v1 + ...+ λkvk

и будем получать

x = λ1v1 + ...+ λrvr + λr+1(α1v1 + ...+ αrvr)+ ...+ λk (τ1v1 + ...+ τrvr)

Раскрывая скобки, увидим, что x является линейной комбинацией всего лишь векторов v ,...,v 1 r (впрочем, это видно и без раскрытия скобок).

Поскольку x был произвольный, мы доказали, что любой вектор, являющийся линейной комбинацией всех v1,...,v k , является линейной комбинацией и лишь максимального линейно независимого поднабора v1,...,vr . Таким образом, доказано обратное включение

span{v1,...,vk} ⊂ span {v1,...,vr}

А значит и равенство

span{v1,...,vk} = span {v1,...,vr}

Замечание. А что же делать, если r = k ? А в таком случае просто-напросто ничего делать не нужно, потому что доказывать нечего.

Специальные программы

Все специальные программы
Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse

Мы в социальных сетях

©2025 «Школково». Все права защищены.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!