.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

a) Когда подпространства заданы в виде линейных оболочек, найти базис в их сумме просто.

Мы лишь записываем вектора, от которых берутся и линейная оболочка для и для в одну матрицу, по строкам:

Далее, приводим эту матрицу к ступенчатому виду при помощи Э.П. строк:

И ненулевые строки и будут образовывать базис в . Таким образом, в качестве базиса в годится

b) Чтобы найти базис в , необходимо вначале задать оба подпространства в виде множества решений каких-то ОСЛУ.

1. Зададим при помощи ОСЛУ. Нетрудно убедиться, что ранг матрицы, составленной только из тех векторов, линейной оболочкой которых является , равен двум. Следовательно, .

Таким образом, мы будем искать матрицу , задающую нашу ОСЛУ размера (3 столбца должно быть у неё в любом случае, поскольку все наши векторы из . А размерность пространства решений будет равна количеству неизвестных (3) минус . Таким образом, нам нужна матрица ранга 1, поэтому хватит одной строчки).

Итак, мы ищем матрицу в виде

Так, чтобы системе

удовлетворяли векторы и так, чтобы .

Таким образом, получаем такой набор условий:

Нам достаточно найти частное решение этой системы. Одним из них является, например,

Тогда получается, что задается ОСЛУ (с 1 уравнением):

2. Рассуждая аналогично, найдем, что подпространство имеет размерность и поэтому матрица ОСЛУ, задающая тоже будет размера . Аналогично находим одну из таких матриц и получаем, что задается такой ОСЛУ с одним уравнением:

Таким образом, их пересечение задаётся, очевидно, ОСЛУ

Её общим решением является

Поэтому и найти этот единственный вектор, являющийся базисом в можно, придав единственной свободной неизвестной значение 1 (а других свободных неизвестных, которые мы должны были бы занулять, у нас нет), и вычислив главные. Получается такой базис в :

c) Действительно:

d) Сумма не прямая, поскольку , а по определению сумма подпространств называется прямой, если пересекаются они по тривиальному подпространству , размерность которого, разумеется, равна нулю, а никак не единице.