.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

a) Для того, чтобы найти базис в , надо каждое из подпространств задать в виде линейной оболочки от каких-то векторов. Мы зададим их как линейную оболочку их базисов. А базисы мы найдем просто назодя ФСР ОСЛУ для и для .

1. Базис в . Ищем общее решение системы

Решая её, получаем общее решение:

Следовательно, и по стандартному алгоритму находим базис :

Следовательно, .

2. Аналогично, общее решение системы

Будет

Следовательно, и по стандартному алгоритму находим базис :

Следовательно, .

Далее, чтобы найти базис в , записываем вектора, от которых берутся и линейная оболочка для и для в одну матрицу, по строкам:

Приводим её к ступенчатому виду:

Следовательно, в качестве базиса в можно взять ненулевые строки этой матрицы, то есть вектора

b) Пересечение подпространств задается ОСЛУ:

Её общим решением является

Следовательно, и единственный вектор, образующий базис пересечения мы находим, придавая единственной свободной неизвестной значение 1:

c) Действительно:

d) Сумма не прямая, поскольку , а по определению сумма подпространств называется прямой, если пересекаются они по тривиальному подпространству , размерность которого, разумеется, равна нулю, а никак не единице.