.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
- подпространства пространства 
.
а) Пусть оказалось так, что 
. Что можно сказать тогда о взаимном расположении
подпространств 
и 
?
b) Пусть оказалось так, что 
.
то можно сказать тогда о взаимном расположении подпространств 
?
a) Поскольку, очевидно,
То есть пересечение подпространств всегда является подпространством в их сумме, то в случае, если
, мы с уверенностью можем заключить, что
Потому что вообще, если у подпространства размерность такая же, как и у пространства, в
котором оно содержится, то они совпадают.
Действительно, пусть 
. Пусть 
- базис в 
, 
- базис в
.
И вот если бы нашелся хотя бы один вектор 
такой, что
то это бы означало, что этот вектор 
не является линейной комбинацией 
. А это значит, что система
векторов 
- линейно независима.
Но все они 
лежат в 
. Следовательно, все они должны выражаться через базис 
, то есть
через 
. Противоречие с основной леммой о линейной зависимости.
b) В таком случае эти подпространства тоже совпадают:
Поскольку
То в случае равенства
мы получаем
Аналогично, в случае равенства
мы получаем
a) В таком случае сумма этих подпространств совпадает с их пересечением;
b) В таком случае оба подпространства совпадают и, соответственно, оба совпадают с их пересечением;
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
