.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Ясно, что базисом в подпространстве

будут все многочлены вида , если - четно, либо , если - нечетно.

И правда - все эти многочлены линейно независимы, и любой четный многочлен содержит только одночлены четной степени, а поэтому выражается через них. (Ибо четный многочлен обязан переходить в себя же при замене , а если у многочлена есть хотя бы один ненулевой одночлен нечетной степени, это невозможно).

Далее, базисом в пространстве

являются все многочлены вида , если - нечетно, либо , если - четно.

И правда - все эти многочлены линейно независимы, и любой нечетный многочлен содержит только одночлены нечетной степени, а поэтому выражается через них.

Но любой многочлен можно представить в виде суммы многочлена с только четными степенями переменной и многочлена с только нечетными степенями переменной. Следовательно, этим уже доказано, что

Осталось проверить лишь что

То есть что сумма прямая.

Для этого достаточно проверить, что

Действительно, пусть .

Тогда, с одной стороны, для любого выполнено

А, с другой стороны, для любого выполнено

То есть

Вычитая из одного другое, получим:

для любого . Но если - любой , то и - любой . Следовательно, наш многочлен в любой точке равен минус себе же в любой точке. Таким свойством, конечно, может обладать только тождественно нулевой многочлен.