.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

a) Новый набор отличается от старого лишь перестановкой первых двух векторов местами (первый вектор старого базиса это второй вектор нового базиса, а второй вектор старого базиса - это первый вектор нового базиса).

Формально, такая перестановка дает новый базис, поскольку базис - это упорядоченный набор векторов.

Однако ясно, что свойство линейной независимости не зависит от порядка векторов и от такой перестановки не меняется. Поэтому новый набор все еще будет линейно независимым. Но, так как в нем векторов столько же, сколько и в старом наборе, то это базис.
(мы пользуемся тем свойством, что в пространстве любой линейно независимый набор, в котором векторов образует базис).

Далее, пусть и имеет в базисе координаты , это означает, что

Но т.к. , то ясно, что

То есть в базисе вектор будет иметь координаты .

b) Действительно, набор - базис в , поскольку он линейно независим. Пусть есть произвольная линейная комбинация -ых, равная нулевому вектору:

Но это то же самое, что

В силу линейной независимости набора отсюда получаем, что такая линейная комбинация может быть только тривиальной, то есть

Но отсюда уже следует и то, что

То есть любая линейная комбинация векторов набора , равная нулевому вектору, тривиальна. Следовательно, это базис в , поскольку в нем ровно элементов (а мы знаем, потому что нам дано, что - это базис в ).

Далее, если и имеет в базисе координаты , это означает, что

Но ясно, что это значит, что

Следовательно, этот вектор будет иметь в базисе координаты .