.02 Задачи в координатах на плоскости и в пространстве. Векторное и смешанное произведение.

Необходимость. Пусть система векторов является линейно зависимой. Тогда, по определению, такие не все равные одновременно нулю, что Но раз какая-то из то можно записать, во-первых, что: (в сумме векторов в правой части равенства уже отсутствует т.к. мы перенесли его налево). С другой же стороны, раз то можно на это самое поделить обе части равенства и получить выражение для через остальные векторы системы Итак, поделив на получим:

Что и требовалось доказать.

Достаточность. Итак, пусть такой, что он выражается через остальные векторы системы, то есть такие (здесь нет ), что Но тогда, перебросив направо, получим, что Таким образом, мы получили нетривиальное выражение нулевого вектора через систему следовательно, она по определению линейно зависима.

Контрольный вопрос: а почему в последнем равенстве нулевой вектор действительно выражается нетривиальным образом, то есть не через все нулевые коэффициенты?