.02 Задачи в координатах на плоскости и в пространстве. Векторное и смешанное произведение.

1) По определению, система векторов, состоящая только из двух векторов является линейно зависимой, если такие, что они не равны одновременно, и, к тому же Но раз и не равны одновременно то кто-то из них не равен Пусть, для определённости, это будет Тогда условие эквивалентно (поделим на ) тому, что Следовательно, вектора и - коллинеарны (возьмём ).
2) Тот факт, что система из трёх векторов линейно зависима, эквивалентен тому, что один из этих векторов, пускай линейно выражается через остальные. То есть, иными словами, такие, что Но это и значит, что лежит в плоскости, натянутой на вектора и Следовательно, будучи приведёнными к одному началу, вектора будут лежать в одной плоскости. То есть они по определению компланарны.
3) У этого факта есть красивое геометрическое доказательство. Попробуйте придумать его самостоятельно. А мы ограничимся вот каким алгебраическим рассуждением. Допустим, мы рассуждаем в трёхмерном пространстве, то есть наши четыре вектора живут в (в случае двумерного пространства доказательство будет аналогичным, и даже более простым.)
Итак, раз мы находимся в трёхмерном пространстве, то там есть базис из трёх стандартных ортов Разложим по этим ортам наши вектора:




Теперь мы хотим понять, являются ли эти вектора линейно зависимыми или нет?

По определению, они являются линейно зависимыми, если такие, что:
Или, если вместо векторов подставить их выражения через базисные, получим:

А теперь, если в этом последнем равенстве привести подобные члены при и записать его в координатах, то получится такая вот система линейных уравнений на :

Осталось только заметить, что такая система всегда имеет решение (и даже не одно) - напоминаем, что все коэффициенты вида нам даны - это коэффициенты векторов а вот являются неизвестными.

Почему же такая система всегда имеет решение? Очень просто - уравнений в ней меньше, чем неизвестных, а в правой части стоят одни сплошные нули. Из курса линейной алгебры вы узнаете, что в таких случаях система всегда имеет решение. Но мы покажем сейчас это наглядно.

Из последнего уравнения выразим ту альфу, перед которой коэффициент не равен (если такой не нашлось, то мы имеем тривиальное уравнение и его можно просто вычеркнуть и работать уже не с последним, а с предпоследним уравнением).
Итак, предположим всё таки, что в последнем уравнении перед какой-то из коэффициент не равен Для определенности, пусть это то есть Тогда имеем:
Далее, подставляя эту в первое и второе уравнение, получаем:

Таким образом, у нас теперь осталось только два уравнения и три неизвестных Проделав абсолютно аналогичный трюк, выразив одну из оставшихся трёх альф, перед которой новый коэффициент после приведения подобных не равен через остальные, мы оставим только уравнение с двумя неизвестными, которое будет иметь вид (пусть эти две неизвестные, для определённости, это и ):

Разумеется, такое уравнение всегда имеет решение, и даже бесконечно много (мы имеем целую "прямую" решений, выражающую через или наоборот).

Возвращаясь к нашему первоначальному вопросу: поскольку система

всегда имеет решение, то это означает, что всегда найдутся такие что: То есть, по определению, cистема из четырёх векторов всегда линейно зависима.