.02 Задачи в координатах на плоскости и в пространстве. Векторное и смешанное произведение.

Здесь тоже хорошей помощью будет картинка:

Искомая точка, обозначим её через обязана обладать свойством, что:

Проведём через вершину и искомую точку отрезок т.е. точка — это точка пересечения этого отрезка с
Итак, пусть точка делит сторону так, что а точка делит так, что
Тогда, по формулам деления отрезка в данном отношении, получим выражения для радиус-векторов точек и :

Но тогда, поскольку мы хотим, чтобы то должно быть, что: (если три раза прибавить вектор идущий из начала координат в точку )

Таким образом, из этих двух соотношений следует, если мы подставим выражения для и что

Для удобства давайте считать, что начало координат у нас расположено в точке то есть, иными словами, что

Тогда из предыдущего равенства, если мы перенесём всё в одну часть, следует, что:

Однако ж вектора и являются сторонами треугольника. Значит, раз они не лежат на одной прямой, то они линейно независимы. Значит, нулевой вектор через них может выражаться только тривиальным образом. То есть в нашем самом последнем равенства оба коэффициента перед и равны И мы, таким образом, получаем, что Откуда уже нетрудно получить, что а Вспомним, что а точка делит так, что Значит, - середина а - делит сторону в отношении к считая от вершины Следовательно, - точка пересечения медиан.
Ответ: - точка пересечения медиан треугольника