.02 Задачи в координатах на плоскости и в пространстве. Векторное и смешанное произведение.

Искомая точка, обозначим её через обязана обладать свойством, что:

Проведём через вершину и искомую точку отрезок т.е. точка — это точка пересечения этого отрезка с
Итак, пусть точка делит сторону так, что а точка делит так, что
Тогда, по формулам деления отрезка в данном отношении, получим выражения для радиус-векторов точек и :

Три раза прибавим к равенству вектор идущий из начала координат в точку получим:

Подставляя в это равенство выражения для и получаем

Для удобства давайте считать, что начало координат у нас расположено в точке то есть, иными словами, что

Тогда из предыдущего равенства, если мы перенесём всё в одну часть, следует, что:

Однако ж вектора и являются сторонами треугольника. Значит, раз они не лежат на одной прямой, то они линейно независимы. Значит, нулевой вектор через них может выражаться только тривиальным образом. То есть в нашем самом последнем равенства оба коэффициента перед и равны И мы, таким образом, получаем, что Откуда уже нетрудно получить, что а Вспомним, что а точка делит так, что Значит, — середина а делит сторону в отношении к считая от вершины Следовательно, — точка пересечения медиан.
Ответ: — точка пересечения медиан треугольника