.02 Задачи в координатах на плоскости и в пространстве. Векторное и смешанное произведение.

Ясно, что длина половина векторного произведения равна площади треугольника, натянутого на векторы и . Поэтому при работе с площадьми треугольников, натянутых на вектора, мы можем пользоваться всеми известными нам свойствами векторного произведения.

Будем обозначать через площадь треугольника, натянутого на векторы и .

Тогда ясно, что если для краткости обозначить допустим, медиану, опущенную из вершины за , а медиану, опущенную из вершины за , то:

Собственно, этого нам и будет достаточно:

Но ясно, что

(площадь получается с отрицательным знаком из-за того, что векторы записаны в другом порядке, и при этом, как мы помним, знак векторного произведения меняется на противоположный)

(это очевидно, такие треугольники схлопываются в точку)

Таким образом,

Что и требовалось доказать.