.02 Задачи в координатах на плоскости и в пространстве. Векторное и смешанное произведение.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Показать, что если
![−→ −→ −→ −→ −→ −→
[a ,b ]+ [b ,c ]+[ c ,a ] = 0](/api/latex-service/v1/GetSession/125579/index-48406aab2b291389dcc736e382193fd0.svg)
то векторы 
- компланарны.
Давай возьмём вектор ![−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
v = [a, b ]+ [b , c ]+ [c , a]](/api/latex-service/v1/GetSession/125742/index-9a1dd15410b3d20fafd4b788efa52431.svg)
и умножим его скалярно на
вектор 
. Получим:
![−→ −→
< −→v ,−→a >= < [−→a ,b ]+ [b ,−→c ]+ [−→c ,−→a],−→a >=](/api/latex-service/v1/GetSession/125742/index-d2f608f124ab095a8cd1055106ddc672.svg)
![−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
=< [a ,b ],a > + < [b ,c ],a > + < [c ,a ],a >= (◟a,◝b◜ ,a-)◞ +( b ,c ,a )+ (◟c-,a◝◜,-a)◞
смеш. произв.= 0 смеш. произв. = 0](/api/latex-service/v1/GetSession/125742/index-b17382ed69d8cd4437f53e688c6c94b8.svg)
Но смешанное произведение равно нулю, если в нем есть два повторяющихся
вектора, поскольку смешанное произведение считается как определитель из координат
входящих в него векторов, а определитель с двумя равными строчками (или
столбцами - неважно) равен нулю.
Таким образом, получаем, что первое и третье слагаемое в последней сумме равны
нулю и, тем самым,
![−→ −→ −→
< [−→a ,b ]+ [b ,−→c ]+ [−→c ,−→a ],−→a >= (b ,−→c ,−→a)](/api/latex-service/v1/GetSession/125742/index-4b61858fb28530f2703ff1e8a6b8c432.svg)
Теперь допустим, как и сказано в условии, что
![−→ −→ −→ −→ −→ −→
[a ,b ]+ [b ,c ]+[ c ,a ] = 0](/api/latex-service/v1/GetSession/125742/index-77af8f358ec9a9d2d8a52cf9f32cebf6.svg)
Но тогда получаем, что
![< [−→a ,−→b ]+ [−→b ,−→c ]+ [−→c ,−→a ],−→a >= 0](/api/latex-service/v1/GetSession/125742/index-601cdcb73533230ea7eeec73cb340c24.svg)
(Скалярное произведение нулевого вектора слева с каким угодно вектором справа
равно нулю).
Но тогда 
. А, значит, векторы 
образуют параллелепипед
нулевого объема. Но такое может быть только если они компланарны. Что и
требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
