.02 Задачи в координатах на плоскости и в пространстве. Векторное и смешанное произведение.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать тождество Лагранжа (бац минус цаб):
Для любых векторов трёхмерного пространства выполнено тождество
![[−→a ,[−→b ,−→c ]] = −→b < −→a,−→c > − −→c < −→a ,−→b >](/api/latex-service/v1/GetSession/197044/index-9cce1a2a67d5c36224d4d4bc677d8e83.svg)
Давайте выберем ортонормированный репер положительной ориентации 
так, чтобы вектор
был коллинеарен 
, а вектор 
лежал в плоскости, натянутой на векторы 
, а вектор 
- как получится.
В таком базисе наши вектора 
, очевидно, будут иметь координаты немного специального вида
(мы специально этого и добивались для упрощения вычислений):
Тогда вычислим сначала векторное произведение ![−→ −→
[b , c ]](/api/latex-service/v1/GetSession/197353/index-220746bb886abe99b2e83beb1baecdeb.svg)
:
![( ) ( )
−→e1 −→e2 −→e3 −→e1 −→e2 −→e3
−→ −→ || || || ||
[b ,c ] = det( b1 b2 b3) = det( b1 b2 0 ) =
c1 c2 c3 c1 0 0](/api/latex-service/v1/GetSession/197353/index-e75d2c329542b732f717593d1bece141.svg)
Теперь можем посчитать ![[−→a ,[−→b ,−→c ]]](/api/latex-service/v1/GetSession/197353/index-3809a6b0df235ab7167382cfe1c166dd.svg)
:
![( )
−→e −→e −→e
−→ −→ −→ | 1 2 3 |
[a ,[b , c ]] = det |(a1 a2 a3 |) = (− a2b2c1,a1b2c1,0)
0 0 − b c
2 1](/api/latex-service/v1/GetSession/197353/index-0d8d458cfa7f3d3e761dd1169644c637.svg)
С другой стороны, 
, 
, значит,
![−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
b < a, c > − c < a ,b >= (− a2b2c1,a1b2c1,0 ) = [a ,[b , c ]]](/api/latex-service/v1/GetSession/197353/index-583bddd8712836dd7274cf5674b5ad8a.svg)
и мы, тем самым, всё доказали.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
