Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
на сторонах 
и 
выбраны точки 
и 
соответственно так, что 
и 
Пусть отрезки 
и 
пересекаются в точке 
Найти площадь треугольника 
, если площадь четырехугольника 
равна
Источники:
Подсказка 1
Из условия задачи нам известна площадь четырёхугольника. А найти нужно площадь ABC. Идея попробовать выразить площадь треугольника через четырёхугольник, наверное, не очень хорошая. Но тогда какую часто встречающуюся идею здесь можно применить?
Подсказка 2
Верно, можно же найти какую часть от всего треугольника составляет четырёхугольник. Тогда и задача будет решена. Что теперь для этого нужно сделать? Понятно, что напрямую мы не найдём это.
Подсказка 3
Да, найдём это отношение как разность. Из всего треугольника вычтем маленькие треугольники. Осталось только найти, какую они составляют часть. Найти отношение для площадей BCE и BCD не составляет труда. Остался треугольник CFB. Для этого нам надо знать отношение EF к FB или CF к FD. О какой теореме здесь можно вспомнить?
Подсказка 4
Верно, можно вычислить это отношение через теорему Менелая. Теперь осталось только посчитать, какую часть составляет четырёхугольник, и победа!
Проведем в треугольнике 
отрезки 
и 
пусть они пересекаются в точке 
Пусть также площадь треугольника 
равна 
Треугольники 
и 
имеют общую высоту, проведенную из вершины 
поэтому их площади относятся как отношение
оснований 
и 
поэтому площадь треугольника 
равна
Треугольники 
и 
имеют общую высоту, проведенную из вершины 
поэтому их площади относятся как отношение
оснований:
поэтому площадь треугольника 
равна
Найдем, в каком отношении точка 
делит отрезок 
Для этого запишем теорему Менелая для треугольника 
и секущей
т.е. 
Тогда 
Треугольники 
и 
имеют общую высоту, проведенную из вершины 
поэтому их площади относятся как отношение оснований:
поэтому площадь треугольника 
равна
Но тогда площади треугольников 
и 
равны
Таким образом, площадь четырехугольника 
равна разности площадей
откуда следует, что искомая площадь 
треугольника 
равна 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
