Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагонали 
, 
и 
шестиугольника 
пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Докажите,
что сумма площадей черных треугольников равна площади серого шестиугольника (см. рисунок).
Рисунок для светлой темы:
Для начала отметим точку пересечения диагоналей — точка 
Из условия, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что 
и 
— параллелограммы.
Значит, 
и 
Докажем, что:
Проведём отрезок 
где 
лежит на 
Тогда, так как 
, 
Так как
— параллелограмм,
Значит, и
Заметим, что
Аналогично преобразуем площади треугольников 
и 
Заметим, что 
так как 
и 
из 
Далее аналогично преобразуем
площади треугольников 
и 
Таким образом, мы получаем, что:
Тогда можем применить теорему о линолеуме: так как сумма площадей треугольников равна площади всего многоугольника, чёрные
части покрыты ими 
раза, а серые — 
раз, сумма площадей чёрных треугольников равна площади серого шестиугольника.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
