Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Трапеция 
и параллелограмм 
расположены так, что стороны параллелограмма параллельны диагоналям трапеции.
Докажите, что площадь серой части равна сумме площадей чёрных частей:
Замечание. Рисунок для светлой темы!
Подсказка 1
Проверять равенство площади сумме площадей фигур довольно сложно, практически всегда удобнее проверять равенство площадей двух отдельных фигур. Как это соображение может помочь в нашей задаче?
Подсказка 2
Путем добавления одного и того же четырехугольника задачу можно свести к доказательству равенства площадей треугольников KMD и ACK. Часто при решении необходимо убирать лишние точки с рисунка, сводя задачу к более простой. Площади какого треугольника на точках A, B, C, D равна площадь треугольника KMD?
Подсказка 3
Несложно показать, что его площадь равна площади DMB, а значит и площади ABD. Как из подобных рассуждений выразить площадь AKC?
Подсказка 4
Она равна площади треугольника ADC. Наконец, осталось проверить равенство площадей треугольников ABD и ACD.
Заметим, что с помощью одного и того же четырёхугольника серую часть можно дополнить до треугольника 
, а чёрные — до
. Поэтому для доказательства, что площадь серой части равна сумме площадей чёрных частей, достаточно доказать
.
Заметим, что так как 
, то 
(у этих треугольников совпадают основания и из-за параллельности равны высоты).
Аналогично из 
следует, что 
.
С другой стороны, так как 
параллелограмм, то 
. Известно, что 
, поэтому ещё и
В итоге мы получили, что 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
