Вписанная сфера

Подсказка 1

Назовём нашу пирамиду SABC, где △ABC будет основанием. Попытаемся узнать длину бокового ребра, пользуясь данными о том, что центр описанной около этой пирамиды сферы равноудалён от боковых рёбер и плоскости основания. Где относительно высоты пирамиды будет расположен центр описанной сферы? Пусть Н — основание высоты, а О₁ — центр описанной сферы. Что можно сказать про △ASH, пользуясь тем, что точка О равноудалена от точки Н и прямой AS, а также от точек S и A?

Подсказка 2

Пирамида правильная, значит мы точно знаем положение точки Н, длину АН и отсюда сможем вытащить AS. Теперь мы знаем длины всех рёбер пирамиды! Подумайте, как можно вытащить радиус вписанной сферы?

Подсказка 3

Центр вписанной сферы О₂ также лежит на высоте пирамиды. Нетрудно доказать, что если М — середина АВ, то именно в плоскости (MSH) будут лежать радиусы, проведённые в точки касания сферы с гранями АВС и SAB. Рассмотрите △MSH, как мы можем в нём посчитать O₂H?

Подсказка 4

MH нетрудно ищется из свойств правильного треугольника. Пифагор поможет нам найти SM и SH. О₂, как точка равноудалённая от сторон МН и MS лежит на биссектрисе угла M. Осталось только применить свойство биссектрисы и задача решена!