Вписанная сфера

Первое решение.

Сделаем гомотетию с центром и коэффициентом 2. Пусть — образы точек — точка пересечения прямой с плоскостью . Тогда как касательные к сфере, и, поскольку треугольники и подобны, то . Аналогично . Но как касательные, следовательно — центр окружности , а середина — центр окружности

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим сферу, проходящую через точки , с центром в точке , через , вписанную сферу пирамиды — через , а плоскость, проходящую через середины рёбер пирамиды — через .

Сделаем инверсию с центром в точке , переводящую в . Тогда точки перейдут в точки . Так как , то образ будет перпендикулярен . Следовательно, образом будет сфера, построенная на окружности ( ) как на диаметральной окружности.

Тогда утверждение задачи следует из того, что центр инверсии, центр сферы и центр её образа лежат на одной прямой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Утверждение задачи является частным случаем следующего факта.

Рассмотрим стереографическую проекцию сферы на плоскость из точки . Пусть — точка вне сферы , а окружность на , образованная касательными к из , не проходит через . Тогда образом будет окружность с центром в точке пересечения плоскости с лучом .

Так как плоскость перпендикулярна высота пирамиды лежит в грани Без ограничения общности можно считать, что сфера касается плоскости в точке лежащей на высоте (этого можно добиться, если выполнять перенос сферы параллельно плоскости основания пирамиды).

Пусть сфера касается плоскости в точке Докажем, что точки и лежат в одной плоскости и эта плоскость содержит . Пусть — центр сферы. — перпендикуляр к плоскости так как это отрезок на высоте пирамиды. — точка касания сферы и поэтому и перпендикулярны. Таким образом, и параллельны, поэтому лежат в одной плоскости (тогда и лежит в этой плоскости). так как эти отрезки являются основаниями трапеции Тогда плоскость параллельна прямой Докажем, что

Мы уже знаем, что Теперь заметим, что все три угла и — прямые, поэтому — прямоугольник. Тогда — перпендикуляр к плоскости так как и перпендикулярны. Таким образом, Тогда, действительно, и поэтому Точка лежит в плоскости Эта плоскость перпендикулярна при этом — прямая, перпендикулярная Тогда тоже лежит в плоскости

Ранее мы отмечали, что — прямоугольник. Так как — радиусы сферы, то на самом деле этот прямоугольник является квадратом. тогда — отрезки касательных. Пусть плоскость пересекает в точке

Пусть (эти отрезки действительно равны, как отрезки касательных). По теореме Пифагора для

Решаем это уравнение и получаем Теперь через точку проведем прямую параллельную причем и Тогда — это сечение пирамиды плоскостью Действительно, плоскость пересекает по прямой, параллельной при этом Поэтому, действительно, линия пересечения и параллельна поэтому совпадает с

Теперь по теореме Фалеса для углов и получаем: и аналогично

Продлим и до пересечения в точке

По условию поэтому точки и соответственно середины и Пусть Ясно, что Применяем теорему Менелая к и прямой

поэтому Пусть — объем пирамиды Пирамида имеет общую высоту с нашей пирамидой Треугольники и подобны с коэффициентом поэтому Тогда получаем, что причем — основание пирамиды если принять за ее вершину. По формуле объема пирамиды:

По теореме о пирамидах с общим трехгранным углом при вершине:

Таким образом, Снова по теореме о пирамидах с общим трехгранным углом при вершине:

Таким образом, Тогда — одна из частей, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду Объем второй части равен Тогда требуемое по условию отношение равно

В силу симметрии центр вписанного в пирамиду шара будет лежать на высоте

Проведем аналогию с плоскостью. Центры вписанных шаров лежат на одной прямой и гомотетичны относительно точки Из гомотетии следует, что шар, вписанный в трёхгранный угол, будет касаться плоскости в точке, лежащей на следовательно, можно нарисовать треугольник

Точка касания шара, вписанного в пирамиду, с плоскостью лежит на высоте прямоугольника

С помощью этого мы можем узнать радиус. Рассмотрим треугольник в нём поэтому по теореме Пифагора. Теперь, чтобы узнать радиус шара, мы должны найти точку такую что будет равно перпендикуляру из к прямой Напишем уравнение, используя теорему Пифагора:

Следовательно, радиус шара, вписанного в пирамиду, будет равен

Вернемся к плоскости. Через подобие треугольников и найдем коэффициент подобия и найдем

Через диагональ и теорему Пифагора Через теорему Пифагора При этом

Рассмотрим тетраэдр удовлетворяющий условию задачи. Заметим, что по условию для любой высоты данного тетраэдра справедливо неравенство где — радиус вписанной сферы, то есть

Пусть — площадь грани, на которую опущена высота Докажем, что Предположим противное. Выберем грань минимальной площади (если таких граней несколько, то берём любую из них). Без нарушения общности можно считать, что её площадь равна (иначе можно ввести переобозначения). Так как не все равны между собой и - наименьшая из них, то

Выразим объём тетраэдра двумя способами:

Отсюда что противоречит неравенству

Итак, все равны, поэтому все равны, так как Обозначим за длину этих равных высот. Из приведённого выше соотношения для объёма получаем то есть неравенство обращается в равенство. Но это возможно только в случае, если высота содержит центр сферы и точку касания с гранью (и так для каждой высоты).

Пусть - основание высоты тетраэдра, опущенной из точки Тогда совпадает с точкой касания сферы и грани Пусть тогда по теореме о касательной и секущей По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника получаем

Аналогично получаем такое же выражение для остальных рёбер тетраэдра, следовательно, они равны между собой, то есть тетраэдр правильный.

Отметим на высоте пирамиды центр вписанной сферы. Также отметим середину стороны . Проведём перпендикуляр из точки на тогда , а точка — точка касания сферы с гранью . Тогда Поскольку , то , откуда с учётом (из свойств правильного треугольника) имеем

Отсюда заключаем

Замечание. Другим способом посчитать радиус является использование соотношения на площадь поверхности и объём пирамиды

При таком расположении десяти одинаковых шаров центры четырёх из них расположены в вершинах правильного тетраэдра, а точки касания расположены на ребрах этого тетраэдра. Следовательно, ребро тетраэдра равно четырём радиусам этих шаров, радиус внешней сферы больше радиуса шара, описанного около тетраэдра на четверть длины ребра тетраэдра, а радиус внутреннего шара меньше расстояния от центра тетраэдра до его грани на эту же величину. Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью :

Обозначим длину ребра тетраэдра за , радиус сферы, описанной вокруг пирамиды из шаров за , радиус шара, вписанного в центр пирамиды из шаров за .

В треугольнике

следовательно,

Из подобия треугольников и имеем

В треугольнике :

следовательно,

Тогда

Таким образом,

откуда

Пусть эта пирамида . Биссекторы, содержащие рёбра , пересекаются в одной точке , которая находится на одинаковом расстоянии от всех четырёх граней, то есть является центром вписанной в пирамиду сферы. Если нашлась ещё одна сфера с центром , то она также обязана лежать в пересечении трёх биссекторов, но такая точка всего одна, поэтому сфера единственная.

Пусть — основание пирамиды, — вершина, — центр треугольника — середина — центр описанной сферы, — центр вписанной сферы. Поскольку точка равноудалена от и — биссектриса треугольника Стало быть,

Поскольку имеем откуда Для треугольника имеем откуда Поскольку — биссектриса, Стало быть, откуда

Пусть — центр сферы и пусть — основания высот треугольника , опущенных из вершин соответственно.

Рассмотрим четырёхугольники , . Каждый из них состоит из двух равных прямоугольных треугольников. При этом катеты равны.

Из равенства расстояний от до плоскости следует, что равны углы , а стало быть, равны и углы , . Значит, равны отрезки , то есть является точкой пересечения биссектрис треугольника . При этом это ортоцентр . Стало быть, треугольник правильный. Поскольку углы равны, — высота пирамиды. Опустим из перпендикуляр на . Тогда радиус окружности, описанной около треугольника равен . Радиус же окружности, описанной около треугольника равен . Получаем, что . Отсюда видим, что . Стало быть, . Получаем, что искомое отношение равно

Обозначим точки пересечения прямой со сферой через и (точка лежит на отрезке , а — вне него). Пусть радиус сферы равен . Треугольники и прямоугольные (углы при вершинах прямые, так как касательные перпендикулярны радиусам, проведённым в точку касания). Эти треугольники равны по катету и гипотенузе — общая), следовательно, пусть . Высоты, опущенные из точек на гипотенузу , paвны, а их основания — одна и та же точка , лежащая в плоскости (назовём эту плоскость . Пусть и касательные плоскости к сфере, проходящие через точки и , а и — точки пересечения этих плоскостей с прямой . По условию площади сечений трёхгранного угла этими плоскостями равны соответственно и . Рассмотрим сечение трехгранного угла и сферы плоскостью (см. рис. и обозначения на нем). Так как и , то . Тогда сечения трёхгранного угла плоскостями и — подобные треугольники, плоскости которых параллельны (все они перпендикулярны .

Если — площадь треугольника, получающегося в сечении трёхгранного угла плоскостью , то из подобия Следовательно, Тогда откуда a Отсюда

Далее, Значит, откуда

Воспользуемся формулой радиуса вписанной сферы , где — объём, а — площадь поверхности пирамиды. Объёмы пирамид и равны (грань общая, а вершины и равноудалены от плоскости ); кроме того и (медиана делит площадь треугольника пополам). Значит, равенство сфер, вписанных в пирамиды и , эквивалентно условию или равенству высот, проведённых к стороне в треугольниках и .

Пусть высота пирамиды, а высота в треугольнике . Объём пирамиды равен , а её высота из вершины равна 3, то есть . Значит, площадь основания пирамиды равна . Тогда сторона основания , а высота треугольника равна 5. Значит, также равно 5. Из прямоугольного треугольника находим , т.е. точка находится на расстоянии 4 от прямой ( лежит на одной из двух прямых, параллельных , на расстоянии 4 от неё). Тем самым, угол между гранями при ребре равен .

Из условия, что грани и взаимно перпендикулярны, следует, что лежит на . Так как , то . Значит или . Тогда или .

С одной стороны,

С другой стороны,

Поэтому

Заметим, что при данных значениях высот пирамида существует:

На рисунке пирамида вписана в прямоугольный параллелепипед со сторонами 3, 4 и 7. Три высоты совпадают со сторонами, а четвёртая высота будет равна как раз 84/37.

(a) Из соображений симметрии (относительно плоскости ) плоскость проходит через точку — и, значит, через центр грани . Отрезки и — проекции параллельных отрезков и на прямую , причём . Значит, .

(b) Поскольку сфера касается всех боковых граней призмы, её проекция на основание есть окружность, вписанная в это основание. Значит, . Кроме того, и — это две параллельные плоскости, касающиеся сферы, поэтому расстояние между ними равно диаметру сферы, то есть 6. Так как , этим расстоянием является отрезок , поэтому .

Обозначим . Поскольку — высота прямоугольного треугольника , то

и, следовательно, . Тогда

и

Получаем уравнение

поскольку .

Наконец, высота призмы равна

А объём призмы равен

Пусть у некоторой правильной пирамиды с основанием известно боковое ребро Давайте посчитаем, при какой длине стороны основания пирамида будет обладать наибольшим объемом.

Пусть — центр основания

Теперь это функция от Возьмем производную по Она зануляется при и в этой точке производная меняет свой знак с + на -. Значит, это точка максимума и объем максимальный при .

Вернёмся к задаче. Пирамида, вершинами которой служат точки касания и центр сферы, является правильной треугольной пирамидой с ребром . Значит, чтобы объем был максимальным, нужно добиться того, чтобы сторона ее основания была .

Пусть исходная пирамида с основанием — центр вписанной сферы. точки касания сферы с плоскостями , , соответственно.

Из точек и проведем перпендикуляры к , в силу симметрии они попадут в одну точку .

По доказанному ранее и при этом . Значит, , но тогда угол прямой, а его нам и нужно было найти.

Заметим, что центры обеих сфер лежат на диагонали куба, причём на одной и том же, поскольку касаются разных боковых граней. Действительно, прямая, на которой лежит центр сферы, является биссектрисой трёхгранного угла, поскольку центр куба является центром сферы радиуса , которая касается всех граней, то эта прямая проходит через него. Без ограничения общности, выберем на эту роль диагональ .

Пусть тогда

Так как центр вписанной в пирамиду сферы лежит на её высоте , то образует равные углы с плоскостями . Кроме того, из симметрии следует, что .

Проведём плоскость через перпендикулярно . Пусть эта плоскость пересекает в точке . Аналогично построим точки . Заметим, что треугольники равны, так как они прямоугольные, имеют общий катет , а углы равны, как углы между и плоскостями . Тогда и эти отрезки являются высотами боковых граней пирамиды. Из прямоугольного треугольника находим его высоту .

Рассмотрим треугольник . Пусть . Тогда по теореме косинусов

(1)

Так как и то

Полагая получаем уравнение

Откуда

Тогда из получаем . Так как , то является серединой а из равенства следует, что является высотой треугольника причём .

Пусть — радиус вписанной окружности треугольника .

Тогда . Из равенства

Тогда

Рассмотрим треугольник . Отразив точку симметрично получим точку . Пусть радиус сферы равен . Заметим, что он равен радиусу окружности, вписанной в треугольник . Тогда

Введем обозначения

А также

По условию . Заметим, что

Значит,

Пусть — радиус вписанной в пирамиду сферы, — высота пирамиды. Тогда

И так как центр вписанной сферы лежит на отрезке , то

С другой стороны, высоты пирамид и , проведённые из общей вершины , равны , поэтому

Откуда

Следовательно,

Плоскость пересечет грань куба по прямой где ребро — в некоторой точке Пусть — середина и основания перпендикуляров, опущенных соответственно из точек и на плоскость Тогда так как и

По условию откуда находим Из треугольника в котором находим и поэтому

Пусть — площадь сечения куба плоскостью тогда где и поэтому

Теперь найдём радиус вписанного шара. Заметим, что центр шара лежит на биссектрисе угла , а проекция точки на грань принадлежат Из треугольника в котором находим

где

Так как

тo

_____________________________________________________________________________________

Замечание.

Искомый радиус можно было также найти, заметив что он равен радиусу шара, вписанного в треугольную пирамиду где — точка пересечения прямых и точка пересечения прямых и используя формулу где — объем пирамиды — её полная поверхность.