Вписанная сфера

Плоскость пересечет грань куба по прямой где ребро — в некоторой точке Пусть — середина и основания перпендикуляров, опущенных соответственно из точек и на плоскость Тогда так как и

По условию откуда находим Из треугольника в котором находим и поэтому

Пусть — площадь сечения куба плоскостью тогда где и поэтому

Теперь найдём радиус вписанного шара. Заметим, что центр шара лежит на биссектрисе угла , а проекция точки на грань принадлежат Из треугольника в котором находим

где

Так как

тo

_____________________________________________________________________________________

Замечание.

Искомый радиус можно было также найти, заметив что он равен радиусу шара, вписанного в треугольную пирамиду где — точка пересечения прямых и точка пересечения прямых и используя формулу где — объем пирамиды — её полная поверхность.