Вписанная сфера

Первое решение.

Сделаем гомотетию с центром и коэффициентом 2. Пусть — образы точек — точка пересечения прямой с плоскостью . Тогда как касательные к сфере, и, поскольку треугольники и подобны, то . Аналогично . Но как касательные, следовательно — центр окружности , а середина — центр окружности

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим сферу, проходящую через точки , с центром в точке , через , вписанную сферу пирамиды — через , а плоскость, проходящую через середины рёбер пирамиды — через .

Сделаем инверсию с центром в точке , переводящую в . Тогда точки перейдут в точки . Так как , то образ будет перпендикулярен . Следовательно, образом будет сфера, построенная на окружности ( ) как на диаметральной окружности.

Тогда утверждение задачи следует из того, что центр инверсии, центр сферы и центр её образа лежат на одной прямой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Утверждение задачи является частным случаем следующего факта.

Рассмотрим стереографическую проекцию сферы на плоскость из точки . Пусть — точка вне сферы , а окружность на , образованная касательными к из , не проходит через . Тогда образом будет окружность с центром в точке пересечения плоскости с лучом .