Вписанная сфера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Десять шаров одинакового радиуса сложены в виде треугольной пирамиды так, что каждый шар касается как минимум трёх других. Найти
радиус сферы, в которую вписана пирамида из шаров, если радиус шара, вписанного в центр пирамиды из шаров, касающегося шести
одинаковых шаров, равен 
Источники:
При таком расположении десяти одинаковых шаров центры 
четырёх из них расположены в вершинах правильного тетраэдра, а
точки касания расположены на ребрах этого тетраэдра. Следовательно, ребро тетраэдра равно четырём радиусам этих шаров, радиус
внешней сферы больше радиуса шара, описанного около тетраэдра на четверть длины ребра тетраэдра, а радиус внутреннего
шара меньше расстояния от центра тетраэдра до его грани на эту же величину. Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью
:
Обозначим длину ребра тетраэдра за 
, радиус сферы, описанной вокруг пирамиды из шаров за 
, радиус шара, вписанного в центр
пирамиды из шаров за 
.
В треугольнике 
следовательно,
Из подобия треугольников 
и 
имеем
В треугольнике 
:
следовательно,
Тогда
Таким образом,
откуда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
