Описанная сфера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольной пирамиде 
ребро 
перпендикулярно плоскости 
. Последовательность точек
строится следующим образом: точка 
— центр сферы, описанной около пирамиды 
, и для каждого натурального 
точка 
есть центр сферы, описанной около пирамиды 
. Какую длину должно иметь ребро 
, чтобы множество 
состояло ровно из двух различных точек?
Подсказка 1
Т.к. SA ⊥ (ABC), то угол ∠SAB=90⁰. По условию ∠SCB=90⁰. Это означает, что наши точки лежат на сфере, с диаметром SB. А на какой прямой лежат центры O₁, O₂, ...?
Подсказка 2
Правильно, на перпендикуляре к плоскости (ABC), проведенной в точке X- середине AB. Мы хотим, чтобы множество наших центров состояло всего из двух точек. Давайте тогда поймем, когда O₃ совпадает с кем-то из O₁, O₂.
Подсказка 3
Ясно, что с O₂ она совпадать не может. Т.к. O₁- середина SB, то и O₃- середина SB. Т.к. O₃ равноудалена от A, B, C и O₂, а O₂ равноудалена от A, B, C и O₁=O₃, то AO₃BO₂- ромб с углом 60°. Я думаю, что вы сможете закончить решение!
.png)
Применим теорему о трех перпендикулярах. В силу того, что 
и 
, получим, что проекция 
на плоскость 
перпендикулярна 
, то есть 
Заметим, что середина гипотенузы 
- точка 
это центр описанной окружности прямоугольного треугольника 
.
Аналогично середина гипотенузы 
- точка 
- центр описанной окружности прямоугольного треугольника 
. Тогда если
провести перпендикуляр к плоскости 
в точке 
и перпендикуляр к плоскости 
в точке 
, то центр описанной
окружности 
пирамиды 
- точка пересечения этих перпендикуляров. Но перпендикуляр к плоскости 
в точке 
совпадает с прямой 
. То есть точка 
и есть точка 
.
При этом на прямой 
(перпендикуляр к плоскости 
в точке 
) будут лежать все 
в силу того, что 
- ГМТ точек
равноудаленных от 
То есть точка 
- центр треугольной пирамиды 
- опять-таки должна лежать на прямой 
.png)
Хотелось бы добиться того, чтобы 
(
по очевидным причинам). Но тогда 
. То есть середина гипотенузы
равноудалена от точек 
. Так же точка 
равноудалена от точек 
. Но тогда 
должен быть ромбом, при
этом его диагональ 
должна быть равна стороне. Понятно, что тогда 
. Значит, что 
, то есть
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
