Описанная сфера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной пирамиде 
с вершиной 
и основанием 
дана высота 
и 
Найти радиус сферы,
описанной около пирамиды.
Пусть точка 
— основание высоты пирамиды, точка 
— центр описанной окружности сферы, 
— радиус этой сферы. Тогда
По свойству правильной пирамиды точка 
лежит на прямой 
являющейся высотой.
Рассмотрим треугольник 
Он прямоугольный, так как 
перпендикулярна плоскости 
то есть перпендикулярна и
прямой 
лежащей в 
как радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 
Рассмотрим, чему может быть равна длина отрезка 
в зависимости от положения точки 
относительно точек 
и
- 1.
-
Пусть
лежит на отрезке 
Тогда 
- 2.
-
Пусть
лежит за точкой 
то есть точки 
и 
находятся по разные стороны от точки 
Тогда 
- 3.
-
Пусть
лежит за точкой 
то есть точки 
и 
находятся по разные стороны от точки 
Но тогда 
и в
прямоугольном треугольнике 
катет 
больше чем гипотенуза 
что не возможно, то есть 
не может
лежать за 
Получается, что 
По теореме Пифагора:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 
Все боковые рёбра равны 
Найдите радиус сферы, описанной
около пирамиды.
Пусть 
— треугольник, который служит основанием пирамиды, при этом 
Заметим, что 
то
есть 
откуда 
— прямоугольный треугольник с гипотенузой 
Все рёбра пирамиды равны, а значит, точки 
и 
равноудалены от четвёртой вершины пирамиды. Геометрическое место точек,
равноудалённых от 
и 
— прямая, перпендикулярная плоскости 
и проходящая через центр окружности, описанной около
Так как треугольник 
— прямоугольный, то центр его описанной окружности лежит на середине его гипотенузы. Пусть точка 
—
середина 
тогда вершина пирамиды 
лежит на прямой, перпендикулярной плоскости 
и проходящей через точку 
а так
же
Треугольник 
— прямоугольный, так как прямая 
перпендикулярна плоскости 
то есть перпендикулярна и прямой 
лежащей в 
как ребро пирамиды, 
отсюда 
Получается, 
то есть точка 
равноудалена от всех вершин пирамиды, откуда точка 
— центр описанной
сферы. Значит, радиус описанной сферы равен 5.
5
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основание 
высоты 
треугольной пирамиды 
принадлежит грани 
Найти радиус сферы, описанной около пирамиды 
Подсказка 1
Давайте обозначим центр нашей сферы за O. Разумно будет опустить перпендикуляры OO₁ и OO₂ на плоскости (ABC) и (ASB) соответственно. Что тогда можно сказать про точки O₁ и O₂?
Подсказка 2
Правильно, это центры описанных окружностей треугольников △ABC и △ASB. Т.к. ∠AO₁B- центральный, то ∠AO₁B=2∠ACB=120°. Заметим, что △ASB- тупоугольный, а это значит, что O₂ лежит вне треугольника △ASB ⇒ ∠AO₂B=120°. Тогда равнобедренные треугольники △AO₂B и△ AO₁B равны. А что можно сказать про треугольники △OO₂M и △OO₁M, где M- середина AB?
Подсказка 3
Они равны! Т.к. OM, O₁M, O₂M ⊥ AB ⇒ O, O₁, O₂, M лежат в одной плоскости. Вот если бы мы знали уголок ∠O₂MO₁, мы бы легко нашли OO₁... Погодите, ведь ∠O₂MO₁ это просто больший из линейных углов двугранного угла между плоскостями (ABC) и (ASB)...
Подсказка 4
Итак, раз уж вы нашли этот уголок, то ∠OMO₁=∠O₂MO₁/2 ⇒ можем вычислить OO₁. Осталось лишь написать теорему Пифагора для треугольника △OBO₁ и найти OB=R!
.png)
По теореме косинусов из треугольника 
находим, что
Пусть 
- высота треугольника 
. Тогда
С другой стороны,
Из уравнения 
находим, что 
По теореме о трёх перпендикулярах 
поэтому 
- линейный угол
двугранного угла между плоскостями граней 
и 
Обозначим 
Из прямоугольного треугольника 
находим,
что
Тогда 
.png)
Пусть 
и 
- проекции центра 
сферы, описанной около пирамиды 
на плоскости граней 
и 
соответственно.
Тогда 
и 
- центры описанных окружностей треугольников 
и 
Тогда, если 
- середина ребра 
то
и 
Поскольку 
центр 
описанной окружности треугольника 
и вершина 
лежат по разные стороны от
прямой 
значит, центр 
сферы лежит внутри тупого двугранного угла, образованного плоскостями граней 
и 
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямые 
и 
Прямая 
перпендикулярна этой плоскости, т.к.
она перпендикулярна 
то точка 
также принадлежит этой плоскости. Заметим, что
поскольку центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного. Из равнобедренных треугольников 
и 
находим, что
Прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе и катету, поэтому 
а т.к. 
то 
Тогда
Пусть 
искомый радиус описанной сферы пирамиды 
Из прямоугольного треугольника 
находим,
что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Десять шаров одинакового радиуса сложены в виде треугольной пирамиды так, что каждый шар касается как минимум трёх других. Найти
радиус сферы, в которую вписана пирамида из шаров, если радиус шара, вписанного в центр пирамиды из шаров, касающегося шести
одинаковых шаров, равен 
Источники:
При таком расположении десяти одинаковых шаров центры 
четырёх из них расположены в вершинах правильного тетраэдра, а
точки касания расположены на ребрах этого тетраэдра. Следовательно, ребро тетраэдра равно четырём радиусам этих шаров, радиус
внешней сферы больше радиуса шара, описанного около тетраэдра на четверть длины ребра тетраэдра, а радиус внутреннего
шара меньше расстояния от центра тетраэдра до его грани на эту же величину. Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью
:
Обозначим длину ребра тетраэдра за 
, радиус сферы, описанной вокруг пирамиды из шаров за 
, радиус шара, вписанного в центр
пирамиды из шаров за 
.
В треугольнике 
следовательно,
Из подобия треугольников 
и 
имеем
В треугольнике 
:
следовательно,
Тогда
Таким образом,
откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная треугольная пирамида. Известно, что центр сферы, описанной около этой пирамиды, равноудалён от боковых рёбер и от
плоскости основания пирамиды. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду, если длина ребра её основания равна
Подсказка 1
Назовём нашу пирамиду SABC, где △ABC будет основанием. Попытаемся узнать длину бокового ребра, пользуясь данными о том, что центр описанной около этой пирамиды сферы равноудалён от боковых рёбер и плоскости основания. Где относительно высоты пирамиды будет расположен центр описанной сферы? Пусть Н — основание высоты, а О₁ — центр описанной сферы. Что можно сказать про △ASH, пользуясь тем, что точка О равноудалена от точки Н и прямой AS, а также от точек S и A?
Подсказка 2
Пирамида правильная, значит мы точно знаем положение точки Н, длину АН и отсюда сможем вытащить AS. Теперь мы знаем длины всех рёбер пирамиды! Подумайте, как можно вытащить радиус вписанной сферы?
Подсказка 3
Центр вписанной сферы О₂ также лежит на высоте пирамиды. Нетрудно доказать, что если М — середина АВ, то именно в плоскости (MSH) будут лежать радиусы, проведённые в точки касания сферы с гранями АВС и SAB. Рассмотрите △MSH, как мы можем в нём посчитать O₂H?
Подсказка 4
MH нетрудно ищется из свойств правильного треугольника. Пифагор поможет нам найти SM и SH. О₂, как точка равноудалённая от сторон МН и MS лежит на биссектрисе угла M. Осталось только применить свойство биссектрисы и задача решена!
Пусть 
— основание пирамиды, 
— вершина, 
— центр треугольника 
— середина 
— центр описанной сферы,
— центр вписанной сферы. Поскольку точка 
равноудалена от 
и 
— биссектриса треугольника 
Стало быть,
Поскольку 
имеем 
откуда 
Для треугольника 
имеем 
откуда 
Поскольку 
— биссектриса, 
Стало быть, 
откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В сферу радиуса 
вписана правильная треугольная призма 
с основанием 
и боковыми ребрами 
Отрезок 
— диаметр этой сферы. Найти объем призмы, если 
Источники:
Подсказка 1
Нам нужно понять, от чего зависит конструкция, то есть какими параметрами задаётся. С учетом того, что нам надо найти объём, то есть найти площадь основания на высоту, какие параметры нам удобно ввести, чтобы через них всё выражалось?
Подсказка 2
Удобно ввести высоту и радиус окружностей, в которые вписано каждое из оснований. Тогда, поскольку в силу симметрии CD — диаметр, то нам известна длина CD, а также известна длина AD. Это значит, что у нас есть два уравнения на две переменных (r и h), поскольку есть два прямоугольных треугольника у которого стороны либо константы, либо выражаются через r и h. Осталось решить такую систему и посчитать объём!
Плоскости оснований 
и 
призмы пересекают сферу по окружностям, описанным около правильных треугольников 
и
пусть их центры — точки 
и 
соответственно.
Легко показать, что середина 
отрезка 
является центром сферы.
Проведем через точку 
диаметр 
окружности с центром в точке 
Покажем, что 
— диаметр сферы. Действительно,
плоскость 
перпендикулярна плоскостям основания и, значит, вместе с точкой 
содержит отрезок 
Т.к. 
прямая 
пересекает отрезок 
в его середине, т.е. в центре 
заданной сферы.
Пусть 
— проекция точки 
на плоскость основания 
высота призмы равна 
а радиусы окружностей с центрами 
и 
равны 
Рассмотрим треугольники 
и 
Учитывая, что 
(треугольник 
равносторонний),
по т. Пифагора получаем систему уравнений:
Решая систему, находим, что 
Тогда сторона основания равна 
его площадь 
и следовательно, объем
призмы 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан тетраэдр 
. Известно, что центр сферы, описанной около этого тетраэдра, лежит на 
, что плоскости 
и 
перпендикулярны и что 
. Найдите угол между прямыми 
и 
Источники:
Подсказка 1
Пусть К — центр описанной сферы. Отметьте равные отрезки-радиусы сферы. Какой вывод можно сделать, смотря на △ADB и его медиану, равную половине стороны? Какой вывод можно сделать о △АВС?
Подсказка 2
Итак, перед нами два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой и равными катетами, значит они сами...? Проведите высоту DH в △ADB, что можно сказать об отрезке СН, пользуясь перпендикулярностью плоскостей?
Подсказка 3
Из равенства треугольников можно вывести, что ВН = АН, то есть Н совпадает с К, значит △ADB и △AСB не только прямоугольные, но и...?
Подсказка 4
Отметьте L и M — середины рёбер BD и CD соответственно. Что можно сказать о связи LM и BC? А о LK и AD? Осталось внимательно рассмотреть △MLK и записать ответ!
Сразу отметим, что, поскольку центр сферы, описанной около тетраэдра, лежит на 
, углы 
и 
- прямые. Далее, опустим
перпендикуляры 
и 
на 
и 
соответственно. Тогда 
, ибо 
, следовательно, 
серединный
перпендикуляр к 
в плоскости 
и, поскольку 
, точка 
является серединой 
. Значит, 
. Аналогично,
Итак, 
. Пусть 
точка, симметричная точке 
относительно 
. Тогда 
и 
. Следовательно, треугольник 
равносторонний. При этом 
.
Стало быть, искомый угол равен углу 
и равен 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан параллелепипед 
с основаниями 
и боковыми рёбрами 
. Все рёбра
параллелепипеда равны. Плоские углы при вершине 
также равны. Известно, что центр сферы, описанной около тетраэдра 
,
лежит в плоскости 
. Радиус этой сферы равен 2. Найдите длину ребра параллелепипеда.
Источники:
Подсказка 1
В вершине В сходятся 3 равных угла, что можно сказать об отрезках-диагоналях граней, лежащих напротив этой вершины? (Строго обосновать этот факт можно через треугольники, равные по 2-м сторонам и углу между ними!)
Подсказка 2
В какой ещё из вершин параллелепипеда сходятся 3 равных угла? Какой вывод можно сделать об отрезках-диагоналях граней, исходящих из этой же вершины?
Подсказка 3
Каким свойством в таком случае обладает тетраэдр D'AB'C: у него равны боковые рёбра и в основании лежит правильный треугольник? Таким образом мы можем вычислить все его стороны!
Подсказка 4
Восстановите длину стороны ромбов-граней по найденным диагоналям и можно записывать ответ!
Грани параллелепипеда являются ромбами. Поскольку плоские углы при вершине 
равны, равны также и плоские углы при вершине
. Стало быть, 
как равные диагонали ромбов и, по той же причине, 
. Таким образом, центр
сферы, описанной около тетраэдра 
, является центром окружности, описанной около правильного треугольника 
, а также
является основанием высоты тетраэдра, опущенной из вершины 
. Отсюда получаем 
. Итак, диагонали ромба
равны 
и 
, значит, его сторона равна 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана усечённая пирамида 
с боковыми рёбрами 
, 
, 
, такая, что треугольник
— равносторонний. На ребре 
, перпендикулярном основанию 
пирамиды, лежит точка 
такая, что
Сфера 
с радиусом 
проходит через вершины треугольника 
и касается отрезка 
в точке
.
.
(b) Пусть дополнительно известно, что 
. Найдите угол между прямой 
и плоскостью 
, а также
длину ребра 
Пункт а), подсказка 1
Введем обозначения: пусть E – вершина пирамиды, O – центр сферы ω, O₁ – центр описанной окружности треугольника BB₁C, а F – середина BC. Если треугольник BB₁C равносторонний, то чем еще будет являться точка O₁? А какие прямые будут проходить через нее?
Пункт а), подсказка 2
Верно, O₁ будет также точкой пересечения медиан, значит через нее пройдет прямая B₁F, Вы даже можете спокойно найти, в каком отношении точка O₁ поделит отрезок B₁F. А что тогда можно будет сказать про взаимное расположение прямой NO₁ и плоскости (ABC)?
Пункт а), подсказка 3
Конечно, прямая NO₁ будет параллельна плоскости (ABC). А теперь поработаем с нашей сферой! Из условия сфера касается AA₁ в точке N, а также проходит через вершины треугольника BB₁C, чему тогда будут перпендикулярны прямые OO₁ и ON?
Пункт а), подсказка 4
OO₁ ⊥ (BB₁C), ON ⊥ AA₁, а еще по условию AA₁ ⊥ (ABC), тогда ON будет параллельна плоскости (ABC)! Остается понять, что точка O₁ совпадает с точкой O. Для этого рассмотрите плоскость α, которая будет проходить через точку N параллельно плоскости (ABC), а также рассмотрите прямую l, которая перпендикулярна (BB₁C) и проходит через точку O₁. Что будет, если прямая l будет лежать в плоскости α?
Пункт а), подсказка 5
Действительно, такой ситуации быть не может, ведь тогда FB₁ ⊥ l, FB₁ ⊥ BC, а это две разные прямые, которые параллельны (ABC), тогда получается, что (BB₁C) ⊥ (ABC), а такого не может быть в нашей пирамиде! Тогда делаем вывод, что l пересекает α в одной точке, поэтому O₁ = O, что и хотелось показать. Теперь вовсе не составит труда найти сторону равностороннего треугольника BB₁C, если известно, что радиус его описанной окружности совпадает с радиусом сферы.
Пункт б), подсказка 1
Пусть O' – проекция O на (ABC), а B₁' – проекция B₁ на (ABC). Какой прямой в плоскости (ABC) будет принадлежать точка B₁'?
Пункт б), подсказка 2
Конечно, B₁' ∈ AB, можем даже узнать, в каком отношении точка O' будет делить отрезок FB₁' (покажите, что оно будет равно FO : OB₁). Тогда теперь можно будет найти длину отрезка B₁'F, нужно всего лишь показать, что треугольник BB₁'C равнобедренный, доказав равенство треугольников B₁B₁'B и B₁B₁'C. И нужный угол легко найдется, если рассмотреть угол между B₁B₁' || A₁A и нужной плоскостью.
Пункт б), подсказка 3
Пусть T – проекция O' на AB. Легко понять, что A₁B₁ = AB₁', тогда задача поиска A₁B₁ сведется к тому, что нужно будет найти AB₁' = AT + TB₁'. Найдите длину O’T, поработав с треугольником BB₁'C, а зная O’T, можно будет легко найти AT и TB₁', используя теорему Пифагора, а также факт, что AO' = ON.
Отметим точку 
в качестве вершины пирамиды, точку 
в качестве центра 
, точку 
в качестве центра описанной окружности
треугольника 
и 
в качестве середины 
. Так как 
равносторонний, то 
это еще и центр пересечения медиан, а
значит, 
проходит через 
и 
и 
. Так как 
проходит через вершины треугольника 
и
касается отрезка 
в точке 
, то 
и 
. Мы знаем, что 
и поэтому 
. Получается, что мы
знаем, что точка 
лежит на плоскости 
, проходящей через 
и параллельной 
, и лежит на прямой 
, перпендикулярной
и проходящей через 
. Значит, либо 
принадлежит 
, но тогда 
перпендикулярна двум разным прямым
параллельным 
(
и 
) и тогда все три стороны перпендикулярны основанию, а такого не бывает, либо 
и
пересекаются в одной точке и 
. Тогда 
и 
(по формуле для равностороннего
треугольника).
Спроецируем точки 
и 
на плоскость 
. Тогда так как проекция 
на 
это 
, то 
и поэтому 
.
Также можно заметить 
.
Прямоугольные треугольники 
и 
равны по катету и гипотенузе, поэтому 
. Значит, высота в
равнобедренном треугольнике 
равна 
, так как 
середина 
и равна 
.
Тогда
Значит, 
. Тогда 
Пусть 
— проекция 
на 
. Тогда 
и
. С другой стороны, поскольку 
, то 
. Отсюда
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Тетраэдр 
с остроугольными гранями вписан в сферу с центром 
Прямая, проходящая через точку 
перпендикулярно
плоскости 
, пересекает сферу в точке 
такой, что 
и 
лежат по разные стороны относительно плоскости 
Прямая 
пересекает плоскость 
в точке 
, лежащей внутри треугольника 
Оказалось, что 
и 
.
Найдите величину 
Первое решение.
Заметим, что точка 
равноудалена от точек 
, так ее проекция на плоскость 
совпадает с проекций точки 
на эту
плоскость и является центром описанной окружности треугольника 
.
Рассмотрим треугольники 
и 
Они имеют пару равных сторон 
и 
, общую сторону 
и равные углы 
и
Из теоремы синусов следует, что эти треугольники либо равны, либо углы 
и 
дополняют друг друга до 
Первая
ситуация невозможна, так как в случае равенства треугольников 
и 
точки 
и 
равноудалены относительно любой точки
на стороне 
, но по условию 
Значит, 
Рассмотрим точку 
пересечения луча 
со сферой 
, описанной около тетраэдра 
Заметим, что луч 
лежит в
плоскостях 
и 
, а значит точка 
лежит на описанных окружностях треугольников 
и 
Точка 
равноудалена
относительно всех точек описанной окружности треугольника 
в частности, 
Из вписанности четырехугольника 
следует, что 
Раз 
, то 
- середина дуги 
описанной окружности треугольника 
, и значит
.
Используя выведенные ранее равенства углов, заключаем, что треугольники 
и 
равны по второму признаку:
сторона 
– общая. Раз треугольники 
и 
равны, то вершины 
и 
равноудалены относительно любой точки на
стороне 
в частности, 
.
Осталось посчитать углы в плоскости 
Последовательно используя вписанность четырехугольника 
, равнобедренность
треугольника 
и теорему о внешнем угле для треугольника 
, пишем
________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Пусть луч 
пересекает сферу 
, описанную около тетраэдра 
, в точке 
. По построению точки 
верно соотношение
, которое влечет за собой равенство 
. Аналогичными рассуждениями получаем, что 
, и,
следовательно, 
.
Обозначим точку пересечения прямой 
с плоскостью 
, являющуюся центром описанной окружности треугольника 
,
через 
. Тогда 
.
Рассмотрим трехгранные углы 
и 
. В них совпадают плоские углы 
и 
, плоские углы
и 
и двугранные углы при ребрах 
и 
прямые. Следовательно, соответствующие трехгранные углы
равны. А значит равны и плоские углы 
. Отметим, что это равенство можно вывести и из теоремы
косинусов для трехгранных углов. Указанное равенство возможно в двух случаях: либо точка 
лежит на серединном
перпендикуляре к 
(точки 
и 
симметричны относительно 
), либо точка 
лежит на описанной окружности
треугольника 
. Первый случай запрещен условием 
, значит, имеет место второй. Тогда 
и является центральным для угла 
в описанной окружности треугольника 
. В результате заключаем, что
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании треугольной пирамиды 
лежит прямоугольный треугольник 
с гипотенузой 
. Сфера 
касается
плоскости основания пирамиды и касается всех трёх её боковых рёбер в их серединах. Пусть 
— сфера, описанная около пирамиды
(a) Найдите расстояние между центрами сфер 
и 
.
(b) Найдите отношение радиусов сфер 
и 
.
(c) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите объём пирамиды 
.
Пусть 
— центр сферы 
— основания перпендикуляров, опущенных из точки 
на ребра 
соответственно; 
—
высота пирамиды 
и 
— радиусы сфер 
и 
соответственно.
a) Поскольку точка 
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку 
она равноудалена от концов этого отрезка, т.е. 
Аналогично 
и 
Значит, 
поэтому точка 
является центром сферы 
. Следовательно,
расстояние между центрами сфер равно нулю.
b) Из равенства прямоугольных треугольников 
, 
и 
— общая сторона) следует, что
Поскольку точки 
— это середины боковых рёбер пирамиды, отсюда получаем, что боковые рёбра
равны между собой. Тогда высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания (действительно,
по катету и гипотенузе, откуда 
). Но в пирамиде 
боковые рёбра 
также равны между собой как радиусы сферы 
; значит, и её высота, проведённая из вершины 
проходит через центр
окружности, описанной около основания. Таким образом, высота пирамиды 
проходит через точку 
Кроме того, точка
является центром окружности, описанной около основания. Поскольку треугольник 
прямоугольный, 
—
это середина гипотенузы 
Так как отрезок 
перпендикулярен плоскости основания, он равен радиусу 
сферы
Для нахождения соотношения между радиусами рассмотрим прямоугольный треугольник 
Точка 
— середина гипотенузы
на катете 
находится точка 
причём 
, 
Треугольники 
, 
и 
равны по катету
и гипотенузе, следовательно, 
Значит, 
Тогда из треугольника 
находим, что
c) 
поэтому треугольник 
— равносторонний, 
B равнобедренном треугольнике 
известны боковые стороны 
и угол при основании 
Отсюда находим, что 
.
По теореме Пифагора для треугольника 
находим, что 
поэтому 
объём пирамиды 
равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
правильной треугольной призмы 
выбрана точка 
так, что центр сферы, описанной около пирамиды
лежит в грани 
Известно, что радиус сферы, описанной около пирамиды 
равен 
а ребро основания
призмы равно 
. Найдите:
к объёму призмы
Введём обозначения: 
— центр грани 
середина ребра 
— центр сферы, описанной около пирамиды 
(т.е.
— центр грани 
); 
— центр сферы, описанной около пирамиды 
.
(a) 
3начит, объём пирамиды
составляет две трети объёма призмы.
(b) Сторона равностороннего треугольника 
равна 
, следовательно, 
, как радиус описанной
окружности.
Рассмотрим прямоугольную трапецию 
. В ней известны стороны 
и диагональ 
По теореме
Пифагора из треугольника 
находим, что 
Опустим из точки 
перпендикуляр 
на отрезок 
. Тогда
Тогда
Отрезки 
и 
равны как радиусы сферы. Решая получающееся уравнение, находим, что 
Тогда площадь поверхности
призмы 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В сферу радиуса 
вписан параллелепипед, объём которого равен 
Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
Подсказка 1
У нас в сферу вписан параллелепипед. Тогда, на самом деле, он является прямоугольным. А где лежит центр нашей сферы?
Подсказка 2
Конечно, на главной диагонали d параллелепипеда! Давайте обозначим его ребра за a, b и c. Тогда с одной стороны, d²=a²+b²+c², с другой стороны, d²=12. Т.к. по условию объем равен 8, то abc=8. Хотелось бы найти a,b,c, но мы имеем всего 2 уравнения. Может, можно как-то схитрить?
Подсказка 3
Мы видим, что выражения a²+b²+c²=12 и abc=8 можно связать через неравенства о средних: 12=a²+b²+c²≥3(abc)^(2/3)=12. Подумайте, когда такое может получится, и завершите решение!
.png)
Поскольку около параллелепипеда описана сфера, этот параллелепипед — прямоугольный. Обозначим его рёбра, исходящие из одной
вершины, через 
, 
и 
. Диагонали параллелепипеда равны диаметру описанной сферы, а объём равен 
. Из условия задачи следует,
что 
.
По неравенству Коши:
Так как равенство достигается только в случае 
, то 
и площадь поверхности: 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольной пирамиде 
ребро 
перпендикулярно плоскости 
. Последовательность точек
строится следующим образом: точка 
— центр сферы, описанной около пирамиды 
, и для каждого натурального 
точка 
есть центр сферы, описанной около пирамиды 
. Какую длину должно иметь ребро 
, чтобы множество 
состояло ровно из двух различных точек?
Подсказка 1
Т.к. SA ⊥ (ABC), то угол ∠SAB=90⁰. По условию ∠SCB=90⁰. Это означает, что наши точки лежат на сфере, с диаметром SB. А на какой прямой лежат центры O₁, O₂, ...?
Подсказка 2
Правильно, на перпендикуляре к плоскости (ABC), проведенной в точке X- середине AB. Мы хотим, чтобы множество наших центров состояло всего из двух точек. Давайте тогда поймем, когда O₃ совпадает с кем-то из O₁, O₂.
Подсказка 3
Ясно, что с O₂ она совпадать не может. Т.к. O₁- середина SB, то и O₃- середина SB. Т.к. O₃ равноудалена от A, B, C и O₂, а O₂ равноудалена от A, B, C и O₁=O₃, то AO₃BO₂- ромб с углом 60°. Я думаю, что вы сможете закончить решение!
.png)
Применим теорему о трех перпендикулярах. В силу того, что 
и 
, получим, что проекция 
на плоскость 
перпендикулярна 
, то есть 
Заметим, что середина гипотенузы 
- точка 
это центр описанной окружности прямоугольного треугольника 
.
Аналогично середина гипотенузы 
- точка 
- центр описанной окружности прямоугольного треугольника 
. Тогда если
провести перпендикуляр к плоскости 
в точке 
и перпендикуляр к плоскости 
в точке 
, то центр описанной
окружности 
пирамиды 
- точка пересечения этих перпендикуляров. Но перпендикуляр к плоскости 
в точке 
совпадает с прямой 
. То есть точка 
и есть точка 
.
При этом на прямой 
(перпендикуляр к плоскости 
в точке 
) будут лежать все 
в силу того, что 
- ГМТ точек
равноудаленных от 
То есть точка 
- центр треугольной пирамиды 
- опять-таки должна лежать на прямой 
.png)
Хотелось бы добиться того, чтобы 
(
по очевидным причинам). Но тогда 
. То есть середина гипотенузы
равноудалена от точек 
. Так же точка 
равноудалена от точек 
. Но тогда 
должен быть ромбом, при
этом его диагональ 
должна быть равна стороне. Понятно, что тогда 
. Значит, что 
, то есть
