Описанная сфера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основание 
высоты 
треугольной пирамиды 
принадлежит грани 
Найти радиус сферы, описанной около пирамиды 
Подсказка 1
Давайте обозначим центр нашей сферы за O. Разумно будет опустить перпендикуляры OO₁ и OO₂ на плоскости (ABC) и (ASB) соответственно. Что тогда можно сказать про точки O₁ и O₂?
Подсказка 2
Правильно, это центры описанных окружностей треугольников △ABC и △ASB. Т.к. ∠AO₁B- центральный, то ∠AO₁B=2∠ACB=120°. Заметим, что △ASB- тупоугольный, а это значит, что O₂ лежит вне треугольника △ASB ⇒ ∠AO₂B=120°. Тогда равнобедренные треугольники △AO₂B и△ AO₁B равны. А что можно сказать про треугольники △OO₂M и △OO₁M, где M- середина AB?
Подсказка 3
Они равны! Т.к. OM, O₁M, O₂M ⊥ AB ⇒ O, O₁, O₂, M лежат в одной плоскости. Вот если бы мы знали уголок ∠O₂MO₁, мы бы легко нашли OO₁... Погодите, ведь ∠O₂MO₁ это просто больший из линейных углов двугранного угла между плоскостями (ABC) и (ASB)...
Подсказка 4
Итак, раз уж вы нашли этот уголок, то ∠OMO₁=∠O₂MO₁/2 ⇒ можем вычислить OO₁. Осталось лишь написать теорему Пифагора для треугольника △OBO₁ и найти OB=R!
.png)
По теореме косинусов из треугольника 
находим, что
Пусть 
- высота треугольника 
. Тогда
С другой стороны,
Из уравнения 
находим, что 
По теореме о трёх перпендикулярах 
поэтому 
- линейный угол
двугранного угла между плоскостями граней 
и 
Обозначим 
Из прямоугольного треугольника 
находим,
что
Тогда 
.png)
Пусть 
и 
- проекции центра 
сферы, описанной около пирамиды 
на плоскости граней 
и 
соответственно.
Тогда 
и 
- центры описанных окружностей треугольников 
и 
Тогда, если 
- середина ребра 
то
и 
Поскольку 
центр 
описанной окружности треугольника 
и вершина 
лежат по разные стороны от
прямой 
значит, центр 
сферы лежит внутри тупого двугранного угла, образованного плоскостями граней 
и 
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямые 
и 
Прямая 
перпендикулярна этой плоскости, т.к.
она перпендикулярна 
то точка 
также принадлежит этой плоскости. Заметим, что
поскольку центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного. Из равнобедренных треугольников 
и 
находим, что
Прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе и катету, поэтому 
а т.к. 
то 
Тогда
Пусть 
искомый радиус описанной сферы пирамиды 
Из прямоугольного треугольника 
находим,
что
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
