Описанная сфера

По теореме косинусов из треугольника находим, что

Пусть - высота треугольника . Тогда

С другой стороны,

Из уравнения находим, что По теореме о трёх перпендикулярах поэтому - линейный угол двугранного угла между плоскостями граней и Обозначим Из прямоугольного треугольника находим, что

Тогда

Пусть и - проекции центра сферы, описанной около пирамиды на плоскости граней и соответственно. Тогда и - центры описанных окружностей треугольников и Тогда, если - середина ребра то и
Поскольку центр описанной окружности треугольника и вершина лежат по разные стороны от прямой значит, центр сферы лежит внутри тупого двугранного угла, образованного плоскостями граней и
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямые и Прямая перпендикулярна этой плоскости, т.к. она перпендикулярна то точка также принадлежит этой плоскости. Заметим, что

поскольку центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного. Из равнобедренных треугольников и находим, что

Прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и катету, поэтому а т.к. то Тогда

Пусть искомый радиус описанной сферы пирамиды Из прямоугольного треугольника находим, что