Описанная сфера

Из условия понятно, что — правильный тетраэдр. Попарные расстояния между точками обозначим через

Введем обозначения: — середины ребер и Пусть — длины отрезков и а длины отрезков соответственно равны и

Треугольник — равнобедренный и — его медиана, перпендикулярная Тогда

Плоскость треугольника перпендикулярна поэтому и — пересекающиеся хорды сферы, поэтому

(1)

и – пересекающиеся хорды сферы, поэтому

(2)

Складывая и получим

(3)

Треугольники и прямоугольные (теорема о трёх перпендикулярах), поэтому

(4)

Используя то, что квадрат величины неотрицательное число и равенства и получаем:

Таким образом, должно выполняться что невозможно, так как

Значит, указанное отношение длин невозможно.

Пусть точка — основание высоты пирамиды, точка — центр описанной окружности сферы, — радиус этой сферы. Тогда По свойству правильной пирамиды точка лежит на прямой являющейся высотой.

Рассмотрим треугольник Он прямоугольный, так как перпендикулярна плоскости то есть перпендикулярна и прямой лежащей в как радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной Рассмотрим, чему может быть равна длина отрезка в зависимости от положения точки относительно точек и

1.

Пусть лежит на отрезке Тогда

2.

Пусть лежит за точкой то есть точки и находятся по разные стороны от точки Тогда

3.

Пусть лежит за точкой то есть точки и находятся по разные стороны от точки Но тогда и в прямоугольном треугольнике катет больше чем гипотенуза что не возможно, то есть не может лежать за

Получается, что По теореме Пифагора:

Пусть — треугольник, который служит основанием пирамиды, при этом Заметим, что то есть откуда — прямоугольный треугольник с гипотенузой

Все рёбра пирамиды равны, а значит, точки и равноудалены от четвёртой вершины пирамиды. Геометрическое место точек, равноудалённых от и — прямая, перпендикулярная плоскости и проходящая через центр окружности, описанной около

Так как треугольник — прямоугольный, то центр его описанной окружности лежит на середине его гипотенузы. Пусть точка — середина тогда вершина пирамиды лежит на прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку а так же

Треугольник — прямоугольный, так как прямая перпендикулярна плоскости то есть перпендикулярна и прямой лежащей в как ребро пирамиды, отсюда

Получается, то есть точка равноудалена от всех вершин пирамиды, откуда точка — центр описанной сферы. Значит, радиус описанной сферы равен 5.

По теореме косинусов из треугольника находим, что

Пусть - высота треугольника . Тогда

С другой стороны,

Из уравнения находим, что По теореме о трёх перпендикулярах поэтому - линейный угол двугранного угла между плоскостями граней и Обозначим Из прямоугольного треугольника находим, что

Тогда

Пусть и - проекции центра сферы, описанной около пирамиды на плоскости граней и соответственно. Тогда и - центры описанных окружностей треугольников и Тогда, если - середина ребра то и
Поскольку центр описанной окружности треугольника и вершина лежат по разные стороны от прямой значит, центр сферы лежит внутри тупого двугранного угла, образованного плоскостями граней и
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямые и Прямая перпендикулярна этой плоскости, т.к. она перпендикулярна то точка также принадлежит этой плоскости. Заметим, что

поскольку центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного. Из равнобедренных треугольников и находим, что

Прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и катету, поэтому а т.к. то Тогда

Пусть искомый радиус описанной сферы пирамиды Из прямоугольного треугольника находим, что

При таком расположении десяти одинаковых шаров центры четырёх из них расположены в вершинах правильного тетраэдра, а точки касания расположены на ребрах этого тетраэдра.

Следовательно, ребро тетраэдра равно четырём радиусам этих шаров, радиус внешней сферы больше радиуса шара, описанного около тетраэдра на четверть длины ребра тетраэдра, а радиус внутреннего шара меньше расстояния от центра тетраэдра до его грани на эту же величину. Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью :

Обозначим длину ребра тетраэдра за , радиус сферы, описанной вокруг пирамиды из шаров за , радиус шара, вписанного в центр пирамиды из шаров за .

В треугольнике

следовательно,

Из подобия треугольников и имеем

В треугольнике :

следовательно,

Тогда

Таким образом,

откуда

Пусть — основание пирамиды, — вершина, — центр треугольника — середина — центр описанной сферы, — центр вписанной сферы. Поскольку точка равноудалена от и — биссектриса треугольника Стало быть,

Поскольку имеем откуда Для треугольника имеем откуда Поскольку — биссектриса, Стало быть, откуда

Плоскости оснований и призмы пересекают сферу по окружностям, описанным около правильных треугольников и пусть их центры — точки и соответственно.

Легко показать, что середина отрезка является центром сферы.

Проведем через точку диаметр окружности с центром в точке Покажем, что — диаметр сферы. Действительно, плоскость перпендикулярна плоскостям основания и, значит, вместе с точкой содержит отрезок Т.к. прямая пересекает отрезок в его середине, т.е. в центре заданной сферы.

Пусть — проекция точки на плоскость основания высота призмы равна а радиусы окружностей с центрами и равны Рассмотрим треугольники и Учитывая, что (треугольник равносторонний), по т. Пифагора получаем систему уравнений:

Решая систему, находим, что Тогда сторона основания равна его площадь и следовательно, объем призмы

Сразу отметим, что, поскольку центр сферы, описанной около тетраэдра, лежит на , углы и - прямые.

Далее, опустим перпендикуляры и на и соответственно. Тогда , ибо , следовательно, серединный перпендикуляр к в плоскости и, поскольку , точка является серединой . Значит, . Аналогично,

Итак, . Пусть точка, симметричная точке относительно . Тогда и . Следовательно, треугольник равносторонний. При этом . Стало быть, искомый угол равен углу и равен

Грани параллелепипеда являются ромбами. Поскольку плоские углы при вершине равны, равны также и плоские углы при вершине . Стало быть, как равные диагонали ромбов и, по той же причине, . Таким образом, центр сферы, описанной около тетраэдра , является центром окружности, описанной около правильного треугольника , а также является основанием высоты тетраэдра, опущенной из вершины . Отсюда получаем . Итак, диагонали ромба равны и , значит, его сторона равна

1) Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости Точка лежит в плоскости , — середина Спроецируем точку на плоскость ее проекция центр описанной около треугольника окружности. Прямая — проекция на плоскость Докажем, что

Поскольку то подобен тогда Докажем, что т.е. — точка пересечения прямых и По свойству вписанных углов имеем:

Пусть — диаметр рассматриваемой окружности. Тогда

Таким образом,

Аналогично доказывается, что проекция на плоскость перпендикулярна Согласно теореме о трех перпендикулярах, также будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым и лежащим в плоскости следовательно,

2) Обозначим через длину стороны основания пирамиды Обозначим через длину бокового ребра пирамиды Пусть — высота пирамиды Тогда В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник — его высота, — середина Высота пирамиды проведенная из вершины лежит на прямой Для вычисления объема пирамиды нужно найти и

На боковом ребре отметим точки и так, что

Пусть Тогда

Значит,

Итак, объем пирамиды вычисляется по формуле

Так как

то треугольники и — прямоугольные с общей гипотенузой . Если — середина отрезка , то по свойству медианы прямоугольного треугольника . Следовательно, радиус описанной сферы равен 3, а точка — её центр.

Обозначим через сферическое расстояние между точками и . По условию задачи необходимо найти площадь множества на сфере, состоящего в точности из точек , для которых

Поскольку — диаметр сферы, то точки и лежат на одной окружности большого круга; следовательно,

Неравенство (1) перепишется в виде

Пусть — точка, симметричная точке относительно центра сферы . Так как и — концы диаметра сферы, то

Подставляя в неравенство (2), получаем

Так как , то не является диаметром, а потому . Итак, есть множество точек на сфере, сферическое расстояние от которых до одной точки на сфере не превосходит сферического расстояни до другой точки на сфере. В силу симметрии (относительно плоскости, проходящей через центр сферы перпендикулярно отрезку , — половина сферы и её площадь равна

Отметим точку в качестве вершины пирамиды, точку в качестве центра , точку в качестве центра описанной окружности треугольника и в качестве середины . Так как равносторонний, то это еще и центр пересечения медиан, а значит, проходит через и и . Так как проходит через вершины треугольника и касается отрезка в точке , то и . Мы знаем, что и поэтому . Получается, что мы знаем, что точка лежит на плоскости , проходящей через и параллельной , и лежит на прямой , перпендикулярной и проходящей через . Значит, либо принадлежит , но тогда перпендикулярна двум разным прямым параллельным ( и ) и тогда все три стороны перпендикулярны основанию, а такого не бывает, либо и пересекаются в одной точке и . Тогда и (по формуле для равностороннего треугольника).

Спроецируем точки и на плоскость . Тогда так как проекция на это , то и поэтому . Также можно заметить .

Прямоугольные треугольники и равны по катету и гипотенузе, поэтому . Значит, высота в равнобедренном треугольнике равна , так как середина и равна . Тогда

Значит, . Тогда

Пусть — проекция на . Тогда и . С другой стороны, поскольку , то . Отсюда .

Первое решение.

Заметим, что точка равноудалена от точек , так ее проекция на плоскость совпадает с проекций точки на эту плоскость и является центром описанной окружности треугольника .

Рассмотрим треугольники и Они имеют пару равных сторон и , общую сторону и равные углы и Из теоремы синусов следует, что эти треугольники либо равны, либо углы и дополняют друг друга до Первая ситуация невозможна, так как в случае равенства треугольников и точки и равноудалены относительно любой точки на стороне , но по условию Значит,

Рассмотрим точку пересечения луча со сферой , описанной около тетраэдра Заметим, что луч лежит в плоскостях и , а значит точка лежит на описанных окружностях треугольников и Точка равноудалена относительно всех точек описанной окружности треугольника в частности, Из вписанности четырехугольника следует, что Раз , то - середина дуги описанной окружности треугольника , и значит .

Используя выведенные ранее равенства углов, заключаем, что треугольники и равны по второму признаку:

сторона – общая. Раз треугольники и равны, то вершины и равноудалены относительно любой точки на стороне в частности, .

Осталось посчитать углы в плоскости Последовательно используя вписанность четырехугольника , равнобедренность треугольника и теорему о внешнем угле для треугольника , пишем

________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть луч пересекает сферу , описанную около тетраэдра , в точке . По построению точки верно соотношение , которое влечет за собой равенство . Аналогичными рассуждениями получаем, что , и, следовательно, .

Обозначим точку пересечения прямой с плоскостью , являющуюся центром описанной окружности треугольника , через . Тогда .

Рассмотрим трехгранные углы и . В них совпадают плоские углы и , плоские углы и и двугранные углы при ребрах и прямые. Следовательно, соответствующие трехгранные углы равны. А значит равны и плоские углы . Отметим, что это равенство можно вывести и из теоремы косинусов для трехгранных углов. Указанное равенство возможно в двух случаях: либо точка лежит на серединном перпендикуляре к (точки и симметричны относительно ), либо точка лежит на описанной окружности треугольника . Первый случай запрещен условием , значит, имеет место второй. Тогда и является центральным для угла в описанной окружности треугольника . В результате заключаем, что .

Первое решение. Утверждение задачи эквивалентно равенству

Значит, ввиду равенств и двух аналогичных, достаточно доказать, что

Пусть — прямая, проходящая через центры сфер и Окружность пересечения этих сфер лежит в плоскости, перпендикулярной так что Это значит, что при повороте вокруг описанная окружность треугольника переходит в себя, и подходящим таким поворотом можно точку перевести в Пусть точки и при этом повороте переходят в и (они тоже лежат на см. рис. слева). Тогда

Равенство доказывается аналогично.

Второе решение. Обозначим через и центры сфер и соответственно. Как и в первом решении, введём прямую проходящую через и тогда

Пусть — точка, симметричная относительно Тогда лежит на откуда обозначим Далее, проекции точек и на симметричны относительно проекции точки т. е. относительно середины отрезка Так как проекция точки является серединой отрезка из симметрии относительно получаем, что проекция точки — это середина отрезка Значит, Аналогично показывается, что Значит, требуемые шесть точек лежат на сфере с центром и радиусом

Пусть — центр сферы — основания перпендикуляров, опущенных из точки на ребра соответственно; — высота пирамиды и — радиусы сфер и соответственно.

a) Поскольку точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку она равноудалена от концов этого отрезка, т.е. Аналогично и Значит, поэтому точка является центром сферы . Следовательно, расстояние между центрами сфер равно нулю.

b) Из равенства прямоугольных треугольников , и — общая сторона) следует, что Поскольку точки — это середины боковых рёбер пирамиды, отсюда получаем, что боковые рёбра равны между собой. Тогда высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания (действительно, по катету и гипотенузе, откуда ). Но в пирамиде боковые рёбра также равны между собой как радиусы сферы ; значит, и её высота, проведённая из вершины проходит через центр окружности, описанной около основания. Таким образом, высота пирамиды проходит через точку Кроме того, точка является центром окружности, описанной около основания. Поскольку треугольник прямоугольный, — это середина гипотенузы Так как отрезок перпендикулярен плоскости основания, он равен радиусу сферы

Для нахождения соотношения между радиусами рассмотрим прямоугольный треугольник Точка — середина гипотенузы на катете находится точка причём , Треугольники , и равны по катету и гипотенузе, следовательно, Значит, Тогда из треугольника находим, что

c) поэтому треугольник — равносторонний, B равнобедренном треугольнике известны боковые стороны и угол при основании Отсюда находим, что . По теореме Пифагора для треугольника находим, что поэтому объём пирамиды равен

Введём обозначения: — центр грани середина ребра — центр сферы, описанной около пирамиды (т.е. — центр грани ); — центр сферы, описанной около пирамиды .

(a)  3начит, объём пирамиды составляет две трети объёма призмы.

(b) Сторона равностороннего треугольника равна , следовательно, , как радиус описанной окружности.

Рассмотрим прямоугольную трапецию . В ней известны стороны и диагональ По теореме Пифагора из треугольника находим, что Опустим из точки перпендикуляр на отрезок . Тогда

(c) Обозначим Тогда

Отрезки и равны как радиусы сферы. Решая получающееся уравнение, находим, что Тогда площадь поверхности призмы

Поскольку около параллелепипеда описана сфера, этот параллелепипед — прямоугольный. Обозначим его рёбра, исходящие из одной вершины, через , и . Диагонали параллелепипеда равны диаметру описанной сферы, а объём равен . Из условия задачи следует, что .

По неравенству Коши:

Так как равенство достигается только в случае , то и площадь поверхности:

 Применим теорему о трех перпендикулярах. В силу того, что и , получим, что проекция на плоскость перпендикулярна , то есть

Заметим, что середина гипотенузы - точка это центр описанной окружности прямоугольного треугольника . Аналогично середина гипотенузы - точка - центр описанной окружности прямоугольного треугольника . Тогда если провести перпендикуляр к плоскости в точке и перпендикуляр к плоскости в точке , то центр описанной окружности пирамиды - точка пересечения этих перпендикуляров. Но перпендикуляр к плоскости в точке совпадает с прямой . То есть точка и есть точка .

При этом на прямой (перпендикуляр к плоскости в точке ) будут лежать все в силу того, что - ГМТ точек равноудаленных от

То есть точка - центр треугольной пирамиды - опять-таки должна лежать на прямой

Хотелось бы добиться того, чтобы ( по очевидным причинам). Но тогда . То есть середина гипотенузы равноудалена от точек . Так же точка равноудалена от точек . Но тогда должен быть ромбом, при этом его диагональ должна быть равна стороне. Понятно, что тогда . Значит, что , то есть