Описанная сфера

Первое решение.

Заметим, что точка равноудалена от точек , так ее проекция на плоскость совпадает с проекций точки на эту плоскость и является центром описанной окружности треугольника .

Рассмотрим треугольники и Они имеют пару равных сторон и , общую сторону и равные углы и Из теоремы синусов следует, что эти треугольники либо равны, либо углы и дополняют друг друга до Первая ситуация невозможна, так как в случае равенства треугольников и точки и равноудалены относительно любой точки на стороне , но по условию Значит,

Рассмотрим точку пересечения луча со сферой , описанной около тетраэдра Заметим, что луч лежит в плоскостях и , а значит точка лежит на описанных окружностях треугольников и Точка равноудалена относительно всех точек описанной окружности треугольника в частности, Из вписанности четырехугольника следует, что Раз , то - середина дуги описанной окружности треугольника , и значит .

Используя выведенные ранее равенства углов, заключаем, что треугольники и равны по второму признаку:

сторона – общая. Раз треугольники и равны, то вершины и равноудалены относительно любой точки на стороне в частности, .

Осталось посчитать углы в плоскости Последовательно используя вписанность четырехугольника , равнобедренность треугольника и теорему о внешнем угле для треугольника , пишем

________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть луч пересекает сферу , описанную около тетраэдра , в точке . По построению точки верно соотношение , которое влечет за собой равенство . Аналогичными рассуждениями получаем, что , и, следовательно, .

Обозначим точку пересечения прямой с плоскостью , являющуюся центром описанной окружности треугольника , через . Тогда .

Рассмотрим трехгранные углы и . В них совпадают плоские углы и , плоские углы и и двугранные углы при ребрах и прямые. Следовательно, соответствующие трехгранные углы равны. А значит равны и плоские углы . Отметим, что это равенство можно вывести и из теоремы косинусов для трехгранных углов. Указанное равенство возможно в двух случаях: либо точка лежит на серединном перпендикуляре к (точки и симметричны относительно ), либо точка лежит на описанной окружности треугольника . Первый случай запрещен условием , значит, имеет место второй. Тогда и является центральным для угла в описанной окружности треугольника . В результате заключаем, что .