Отношение отрезков в стерео: подобие, Фалес, Менелай
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан куб 
Через середины его ребер 
и через центр грани 
проведена плоскость, пересекающая
диагональ 
куба в точке 
. Найдите отношение 
: 
Источники:
Подсказка 1
Построение этого сечения не выглядит тривиальной задачей. Разберёмся для начала, какие точки этой плоскости нам нужны, чтобы отыскать искомое соотношение. Удобно будет работать с пересечением этой плоскости (назовем ее π) и диагональной (BDD'). Значит нам точно понадобится пересечение π c рёбрами BB' и DD'.
Подсказка 2
Можно заметить, что середина ребра C'D' и центр грани BCC'B' лежат в плоскости диагонального сечения (ABC'). Рассмотрите эту плоскость и поработайте с подобными треугольниками, чтобы определить точку пересечения плоскости π с прямой АВ — зная её, мы сможем посчитать и положение точки пересечения π с ребром BB'.
Подсказка 3
Определить точку пересечения π и DD' тоже не получится в один шаг: удобно это сделать сначала рассматривая всё ту же плоскость (ABC') и прямую AD' в ней. А потом можно будет высчитать и положение точки на DD'.
Подсказка 4
Осталось рассмотреть плоскость (BDD') и имеющуюся у нас теперь прямую её пересечения с π. Поработайте с подобными треугольниками, чтобы отыскать то самое соотношение DO:OB'
Обозначим середины ребер 
и центр грани 
через 
, соответственно. Обозначим также через 
плоскость
.
Найдем точку 
пересечения плоскости 
и прямой 
. Точки 
лежат в плоскости 
, следовательно прямые 
и
пересекаются. Пусть 
- точка их пересечения. Тогда 
, поскольку треугольники 
и 
равны.
Точки 
и 
принадлежат 
, следовательно, прямая 
есть прямая пересечения плоскости 
с 
. То есть 
лежит на отрезке 
. Из подобия треугольников 
и 
следует, что 
. Следовательно,
.
Найдем теперь точку 
пересечения плоскости 
и прямой 
. Прямая 
лежит в плоскости 
, равно как и прямая 
.
Обозначим через 
точку пересечения этих прямых. Из подобия треугольников 
и 
следует, что 
. Точки 
и 
принадлежат 
, следовательно, прямая 
есть прямая пересечения плоскости 
с 
. То есть 
лежит на продолжении
отрезка 
за точку 
. Из подобия треугольников 
и 
следует, что 
. Следовательно,
.
Прямая 
есть прямая пересечения плоскости 
с 
, то есть она проходит через 
. Треугольники 
и 
подобны с
коэффициентом подобия 
. Следовательно, 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
