Отношение отрезков в стерео: подобие, Фалес, Менелай

Рассмотрим сечение призмы , проходящее через и параллельное грани . Это параллелограмм, а — его средняя линия.

Сделаем гомотетию в точке с коэффициентом . Тогда точки и перейдут в и , потому что точка пересечения медиан делит медиану в отношении к . Точка перейдёт в точку , делящую отрезок в отношении к (до гомотетии отрезок был половиной , а после он перешёл в , который равен ). При этом прямая будет пересекать отрезок в точке , поскольку в параллелограмме прямая пересекает вершину , а в параллелограмм отличается от лишь тем, что длины сторон и короче, а значит, точка пересечения прямой с прямой будет лежать ниже точки .

Аналогично, прямая, проходящая через параллельно прямой будет делить в отношении к , но уже считая от точки , и она будет проходить через отрезок . Значит, прямая будет лежать между этими двумя прямыми и также проходить через отрезок . Значит, отрезок нужной прямой — это отрезок прямой , содержащийся в параллелограмме .

Поскольку , длина этого отрезка будет равна . Отрезок — образ при гомотетии, значит, он равен .

Также , то есть искомая длина — .