Отношение отрезков в стерео: подобие, Фалес, Менелай
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основанием четырехугольной пирамиды 
является параллелограмм 
со сторонами 
и углом 
,
равным 
. Высотой пирамиды 
является отрезок 
, где 
- точка пересечения диагоналей параллелограмма
. Найдите площадь сечения пирамиды 
плоскостью, параллельной медиане 
боковой грани 
и
проходящей через середину ребра 
и середину отрезка 
.
Источники:
Подсказка 1
То, что в условии нам даны все длины, может подтолкнуть к тому, что это очень техническая задача. Здесь придется много считать и не бояться больших и страшных дробей. Первым делом нужно построить сечение. Поищите точку, принадлежащую сечению, на плоскости ABCD.
Подсказка 2
Теперь рассмотрим саму плоскость ABCD. У нас есть прямая, лежащая в этой плоскости и принадлежащая сечению. Где эта прямая пересекает прямые, содержащие стороны параллелограмма ABCD? Найдите отношения с помощью теоремы Менелая и подобия.
Подсказка 3
Пусть эта прямая пересекает прямые AB,BC,CD, AD в точках F,G,H,I соответственно. Пусть L - точка, в которой прямая HM пересекает ребро SD. Тогда искомое сечение это LMGI. Найдем его площадь как разность площадей треугольников LHI и MGH. А как найти их площади? Много считать длины сторон и отношения, используя теоремы Менелая, Герона, Пифагора, косинусов.
Пусть 
— середина ребра 
а точка 
- середина отрезка 
. Рассмотрим плоскость 
. Так как плоскость сечения
параллельна медиане 
и проходит через точку 
, построим прямую 
в плоскости 
. Тогда 
- средняя линия в
, а 
середина 
.
Теперь нам известны три точки сечения: 
. Рассмотрим основание пирамиды 
и посмотрим, как прямая 
пересекает
стороны основания. Пусть эта прямая пересекает прямые 
в точках 
.
Из теоремы Менелая для треугольника 
получаем, что
Так как 
, то 
.
Далее замечаем, что 
. Тогда
Откуда 
.
Из подобия 
получаем
То есть 
.
Аналогично из подобия 
получаем
То есть 
.
Проведем 
, где 
- точка на 
. Тогда
И 
. Тогда из теоремы косинусов для треугольника 
получим 
.
Пусть 
- точка, в которой прямая 
пересекает ребро 
. Тогда из теоремы Менелая для 
и прямой 
получим:
Далее из теоремы Менелая для 
имеем:
В силу параллельности прямых 
и 
имеем 
, откуда 
. По теореме косинусов для
имеем 
, то есть 
. Из теоремы Пифагора для треугольника 
получаем 
, откуда
. По теореме косинусов для 
имеем 
, а значит 
. По теореме Пифагора для 
вычислим 
. Заметим, что для треугольника 
выполняется теорема Пифагора, то есть угол 
прямой.
С помощью теоремы косинусов для треугольника 
вычислим 
. Теперь через теоремы косинусов
для треугольников 
и 
вычислим длины отрезков 
. Далее по теореме Герона получаем
.
Заметим, что 
. Значит,
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
