Тема Тела вращения

Цилиндр

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тела вращения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33366

Рассмотрим всевозможные тетраэдры $ABCD$ , в которых $AB = 2,AC =CB = 5,AD =$ $DB =6$ . Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро $CD$ было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра - наименьший из полученных. Какие значения может принимать длина $CD$ в таком тетраэдре?

Источники: Физтех - 2021, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, а как использовать равные отрезки? В каких треугольниках они состоят, что можно отметить в таких фигурах?

Подсказка 2

Отметим E — середину AB в равнобедренных треугольниках ADB и ACB! Какие тогда выводы можно сделать об AB?

Подсказка 3

AB — хорда окружности, перпендикулярной оси цилиндра. Давайте теперь подумаем, а в каких случаях мы смогли бы уменьшить радиус цилиндра?…

Подсказка 4

Мы можем уменьшать радиус цилиндра, если AB не является диаметром указанной окружности. Какие тогда выводы можно сделать из условия на минимальность радиуса цилиндра?

Подсказка 5

Мы должны рассматривать такие тетраэдры, в которых AB является диаметром цилиндра! Давайте теперь попробуем воспользоваться тем, что CD перпендикулярен основанию цилиндра. Что полезного можно отметить?

Подсказка 6

Отметим H — проекцию точек C и D на основание цилиндра! Осталось лишь воспользоваться тем, AB — диаметр, и немного посчитать ;)

Показать ответ и решение

Пусть $E$ — середина $AB.CE$ и $DE$ — медианы равнобедренных треугольников $ABC$ и $ABD$ , a значит, биссектрисы и высоты. То есть $AB ⊥ CE,AB ⊥ DE$ . Значит, отрезок $AB$ перпендикулярен плоскости $CDE$ , следовательно, $AB ⊥ CD$ .

$PIC$

Таким образом, $AB$ лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (обозначим эту плоскость через $α$ ). Сечение цилиндра этой плоскостью — окружность, а $AB$ является хордой этой окружности. Тогда радиус цилиндра минимален, если $AB−$ диаметр. Отметим, что это возможно в силу того, что отрезки $DE$ и $CE$ длиннее, чем $12AB =1$ . Действительно, из треугольников $ACE$ и $ADE$ следует, что

CE = ∘52-− 12 = 2√6,DE = ∘62−-12 = √35

Рассмотрим тетраэдр, в котором $AB$ является диаметром цилиндра. Возможны 2 случая: точки $C$ и $D$ лежат по одну (этот случай представлен выше) или по разные стороны плоскости $α$ .

Пусть $H$ - проекция точек $C$ и $D$ на плоскость $α$ . Угол $∠AHB =90∘$ , так как он вписан в окружность и опирается на её диаметр. $AH = BH$ в силу равенства треугольников $ACH$ и $BCH$ . Тогда $AH =$ $√- BH = 2$ . По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках $AHC$ и $DHC$ соответственно: $CH =$ $-- -- √25− 2-=√ 23,DH = √36−-2= √34$ .

Тогда, если точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от плоскости $α$ , то $CD =DH − CH = √34− √23$ . Если точки $C$ и $D$ лежат по разные стороны от плоскости $α$ , то $CD = DH + CH = √34+√23-$ .

Ответ:

$√34-±√23$

Критерии оценки

Доказано, что 𝐴𝐵 – диаметр цилиндра наименьшего радиуса – 2 балла; если при этом не проверено, что точки 𝐶 и 𝐷 могут лежать на боковой поверхности такого цилиндра (например, можно доказать, что треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐵𝐷 остроугольные; можно сделать, как в решении), то 1 балл вместо 2;

найдены оба значения 𝐶𝐷 – 3 балла;

найдено только одно значение 𝐶𝐷 – 1 балл вместо 3.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103073

Куб с ребром $a= ∘2+-√3$ освещается цилиндрическим лучом света радиуса $ρ= √2,$ направленным вдоль главной диагонали куба. Найдите площадь освещенной части поверхности куба.

Источники: Ломоносов - 2020, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать в трёхмерном пространстве не очень хочется, лучше бы перейти в двумерное. В задаче просят найти площадь некоторой фигуры. Но вы же знаете, что площадь фигуры связана с площадью её ортогональной проекции, умноженной на косинус угла между плоскостями. Дак почему бы не перейти на плоскость?

Подсказка 2

Ясно, что нужно рассмотреть проекцию куба на плоскость, перпендикулярную оси луча. Косинус угла между осью луча и нормали к любой грани равен 1/√3 (почему?). Осталось посчитать плоскость проекции.

Подсказка 3

Ясно, что проекцией куба будет правильный шестиугольник. Осталось разобраться, какую часть шестиугольника охватит луч.

Подсказка 4

Он охватит почти весь шестиугольник, за исключением шести сегментов. Их площади можно найти как разность между соответствующими треугольником и сегментом окружности.

Показать ответ и решение

Используя скалярное произведение, легко показать, что косинус угла между главной диагональю (осью луча) и любым ребром куба равен $√- 1∕ 3$ . Такое же значение имеет косинус угла между осью луча и нормалью к любой грани куба.

$PIC$

Изобразим проекцию куба на плоскость, перпендикулярную оси луча. Площадь проекции на эту плоскость любой плоской фигуры, расположенной на какой-либо грани куба, равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между гранью и плоскостью проекции, т. е. на $1∕√3$ . Поэтому, вычислив площадь проекции освещённого участка куба и умножив её на $√3-$ , мы получим требуемый ответ.

Длина проекции любого ребра равна произведению длины ребра $a$ на косинус угла между ребром и плоскостью проекции или на синус угла между реброми осью луча, т. е. $a∘2∕3.$ В случае, когда радиус луча $ρ$ не превышает радиуса $r$ вписанного в изображённый правильный шестиугольник окружности, проекция освещённого участка имеет площадь, равную $πρ2.$ Радиус вписанной в шестиугольник окружности равен $r =a∘2-∕3-⋅√3-∕2 =a∕√2.$ Таким образом, при $ρ≤ a∕√2-$ площадь освёщенного участка равна $πρ2√3.$ Если радиус $ρ$ больше или равен радиусу $R$ описанной около шестиугольника окружности, то полностью освещены три грани куба, т. е. при $ρ ≥R = a∘2-∕3$ площадь освещенного участка равна $3a2.$ Рассмотрим случай $a∕√2 <ρ <a∘2-∕3.$ Площадь проекции освещённого участка получается вычитанием из $πρ2$ шести площадей сегментов, вылезающих за шестиугольник. Площадь каждого такого сегмента равна разности площадей соответствующих сектора и треугольника. Угол сектора равен $2arccosa∕ρ√2.$ Поэтому площадь сегмента равна

∘ -----2 ( ∘-----) ρ2arccos-a√- − 12 ⋅2 ρ2− a2-⋅√a-= ρ2 arccosq− q 1 − q2 ρ 2 2

где $q =a∕ρ√2∈ (√3∕2;1),$ а площадь освещённого участка равна

S = ρ2√3-(π− 6arccosq+ 6q∘1−-q2)

Отметим, что соотношение $q = a∕ρ√2∈ (√3∕2;1)$ равносильно неравенству $a∕√2< ρ< a∘2∕3,$ определяющему $3$ -й рассматриваемый случай. По условию имеем имеем

∘ ------ ∘ ---√-- -a- 2+-√3 1+--32- π- (√3- ) q = ρ√2-= 2⋅2 = 2 =cos12 ∈ 2 ;1 ∘ ---√--∘ ------√-- q∘1-− q2-= 2+--3 ⋅ 1− 2+--3 = 1 ( 4 ) 4 4 S = 2√3 π − π + 6 =√3(π+ 3) 2 4

Ответ:

$√3(π+ 3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63895

В правильную треугольную призму $ABCA B C 1 1 1$ вписан шар радиуса $√2$ . Найдите площадь боковой поверхности вписанного в шар прямого кругового цилиндра, основание которого лежит в плоскости, проходящей через точку $A$ и середины рёбер $BB1$ и $CC1.$

Источники: Ломоносов-2014, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте аккуратно нарисуем рисунок, попробуем выразить радиус основания цилиндра через его высоту и радиус сферы. Обозначим за D, D₁, M и N середины ребер ВС, В₁С₁, ВВ₁ и СС₁, Р – точка пересечения MN и DD₁. Как имеющиеся на рисунке отрезки связаны с радиусом сферы?

Подсказка 2

Давайте спроецируем центр сферы на плоскость основания цилиндра, нельзя ли теперь выделить на рисунке какую-нибудь пару подобных треугольников, которая поможет нам связать высоту цилиндра и радиус сферы?

Показать ответ и решение

Обозначим через $r$ радиус шара, а через $D,D ,M 1$ и $N$ — середины рёбер $BC,B C ,BB 11 1$ и $CC 1$ соответственно. Плоскость $AA D 1 1$ есть центральное сечение шара. Пусть $h$ — высота цилиндра, тогда радиус его основания равен $∘ -2--h2- R = r − 4$ . Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $DD1$ и $MN$ .

$PIC$

Справедливы соотношения $OP = r,PD = r,AD = 3r$ , где $O$ — центр шара. Если $O1$ — проекция точки $O$ на основание цилиндра, то из подобия прямоугольных треугольников $AP D$ и $OO1P$ получаем