Теорема косинусов, теорема Пифагора, использование теоремы о трёх перпендикулярах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сфера 
проходит через вершины 
и 
и середины рёбер 
и 
тетраэдра 
Высота тетраэдра, опущенная из
точки 
имеет длину 
а радиус описанной окружности треугольника 
составляет 
Найдите радиус сферы 
Источники:
Подсказка 1
С первого взгляда непонятно, а что это вообще за сфера? Давайте подумаем, как она связана с пирамидой. Например, что является пересечением сферы и треугольников ABC, A₁B₁C₁?
Подсказка 2
Верно, это описанные окружности этих треугольников! А как относятся друг к другу центры этих окружностей и центр сферы?
Подсказка 3
Они лежат на одиной прямой! Пусть R — искомый радиус, а x — расстояние между центром одной из окружностей и центром сферы. Попробуйте связать эти значения, расписав какую-нибудь теорему.
Подсказка 4
Если O', O и O₁ — центры сферы и окружностей, описанных около ABC и A₁B₁C₁ соответственно, то треугольники O'O₁A и O'OA — прямоугольные. Распишите для них теорему Пифагора) Не забудьте рассмотреть случай разного расположения точек O', O и O₁ относительно друг друга на прямой!
Заметим, что треугольник, образованный указанными серединами рёбер (назовём его 
подобен треугольнику 
с
коэффициентом 
Значит, и радиус его описанной окружности в два раза меньше, и составляет 
Центры описанных окружностей этих треугольников назовём 
и 
соответственно, центр сферы назовём 
Плоскости 
и
параллельны, и их пересечения со сферой — это описанные окружности треугольников, поэтому точки 
и 
лежат на
одной прямой, перпендикулярной этим плоскостям. Значит, 
(расстояние между плоскостями, равное половине высоты
тетраэдра).
Пусть 
— искомый радиус сферы, 
где 
будем считать отрицательным, если точка 
лежит по ту же сторону, что и
Тогда из теоремы Пифагора для треугольников 
и 
получим следующие равенства:
Приравняв их правые части, раскрыв скобки и сократив 
получаем
Отсюда 
Теперь подставив 
в равенство 
найдём
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
