Теорема косинусов, теорема Пифагора, использование теоремы о трёх перпендикулярах

Обозначим через .

Из прямоугольных треугольников выражаем углы

По условию нам дано

Преобразуем

Возьмём тангенс от обеих частей (проверку равносильности такого перехода отложим) и применим формулу тангенса суммы

поэтому подходит только .

Теперь вернёмся к уравнению до взятия тангенсов и подставим туда этот корень. Правая часть лежит на отрезке Левая тоже, потому что оба арктангенса по определению положительные и меньше То есть они не могут отличаться на кратное Так что раз тангенсы получились равны, то и сами углы равны.

Обозначим точки касания сферы с гранью основания и гранями и буквами и соответственно.

По свойству отрезков касательных, соответствующие отрезки касательных к сфере будут равны. Значит, по признаку равенства по трём сторонам будут равны треугольники

а также

Следовательно, будут равны все соответствующие углы этих треугольников.

Поскольку вертикальные углы между диагоналями равны, то будут равны углы и .

Рассматривая суммы углов вокруг точек и получаем, что все углы равны:

Так как эти же углы получаются между диагоналями в основании и образуют вокруг точки в сумме , то углы прямые и диагонали и перпендикулярны.

Обозначим длины отрезков и за и соответственно. Применяя теорему Пифагора для треугольников и получим равенства:

Складывая первое и третье и вычитая второе равенство, получим . Из теоремы Пифагора для треугольника находим отрезок .

Пусть дан правильный тетраэдр со стороной в котором проведены высоты и пересекающиеся в точки Отметим середину как и проведём медианы и

В силу того, что тетраэдр правильный, точки и будут является центрами соответствующих граней, а значит будут лежать на и соответственно. Заметим, что четырёхугольник вписанный по двух двух прямым противолежащим углам, следовательно, поэтому Так как и — медианы в правильных треугольниках, они равны Сделаем выносной чертёж треугольника проведя его медиану

Так как треугольник равнобедренный, то является биссектрисой и высотой, поэтому

По теореме Пифагора поэтому

В итоге получаем, что

Пирамида — правильная, тогда медиана

а апофема

Так как — точка пересечения медиан треугольника , то

При увеличении длины троса проекция вершины пирамиды переместиться в точку , так что , тогда

Поскольку, при увеличении длины троса до длина апофемы треугольника равна , то

Следовательно,

Тогда трос нужно удлинить на .

Пусть это пирамида , — центр основание. Поскольку основание является правильным треугольником, то , а также , отсюда легко найти .

Пусть это тетраэдр и — данная в условии высота, откуда .

Проведём . Используя теорему о трёх перпендикулярах для , имеем . Аналогично в силу симметрии можно заключить . Мы доказали попарную перпендикулярность противоположных рёбер тетраэдра.

Рассмотрим теперь высоту и проведём Поскольку , то по обратной теореме о трёх перпендикулярах или . Значит, лежит на высоте грани из вершины . Аналогично показываем, что она лежит и на других высотах, откуда и получаем требуемое.

Первое решение.

Так как

то

Решая данную систему, получаем:

________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть ребро основания равно , а боковое — .

Тогда объём пирамиды можно посчитать по формуле (высоту легко найти из теоремы Пифагора)

Мы составили уравнение, остаётся понять, что искать. Оказывается, нам достаточно найти , проще говоря, достаточно найти значение . Зная это, преобразуем уравнение, сделав замену (для этого поделим обе части на )

После замены получаем

Сразу несложно увидеть решение Вынося его, получим

Получаем или откуда Подойдёт только , откуда , значит, .

Поскольку ( и ), то, в частности, . По теореме Пифагора для имеем . А по той же теореме для получим и для . Теперь мы готовы считать объём

Достроим основания призмы до параллелограммов, получим . Получится параллелепипед, в котором и , отсюда . Кроме того, (призма правильная, можно воспользоваться симметрией. Отсюда прямоугольный и равнобедренный. Если , то будет высотой этого треугольника, если дополнительно , то (используем свойства правильного треугольника). Из условия , применяя теорему Пифагора: .

Пусть — длина ребра основания и — длина бокового ребра. В прямоугольном треугольнике имеем и . Стало быть, . Применяя теорему косинусов к треугольнику , получаем, что , откуда . Пусть — центр основания. Тогда в прямоугольном треугольнике имеем и . Стало быть, .

Пусть и - это основания перпендикуляров, опущенных из на и . Точка на медиане равноудалена от сторон треугольника , поэтому она лежит также на биссектрисе; значит, медиана является биссектрисой, поэтому

по катету и гипотенузе, тогда Обозначим длины отрезков и через и . Тогда

. Taкжe

Расстояние от точки до основания в 2 раза меньше, чем расстояние от до основания то есть , откуда легко получается и

то есть . Объём равен .

и , поэтому четырехугольник — параллелограмм. По теореме о трёх перпендикулярах угол прямой, поэтому — прямоугольник. Его диагонали по условию перпендикулярны, поэтому — квадрат.

Пусть — ребро куба, с неизвестным

Тогда и по теореме Пифагора

Стороны и равны, поэтому

В итоге

так что

Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах можно либо сразу опустить перпендикуляр на прямую , либо сначала опустить перпендикуляр на плоскость , а затем опустить перпендикуляр на прямую . Точку найти легко, так как призма прямая, и значит, .

Тогда лежит в плоскости и является высотой в треугольнике . Так как треугольник равнобедренный, то еще и медиана, а значит, — середина и .

Теперь нужно посчитать . Так как , то треугольники и подобны. Значит,

Тогда так как , то и значит,

Пусть нам дан тетраэдр , у которого и . Проведем прямую параллельную через и выберем на ней точку такую, что параллелограмм. Опустим перпендикуляр в треугольнике , высоту в тетраэдре и перпендикуляр в параллелограмме . Тогда по параллельности и по теореме о трех перпендикулярах . Значит, точки и лежат на одной прямой. Тогда опять по теореме о трех перпендикулярах, так как , то высота в треугольнике .

Мы знаем, что — двугранный угол при ребре . Значит, . Мы знаем, что — угол между ребрами и . Значит, .

Тогда по определению синуса . С другой стороны, по теореме косинусов

Заметим, что раз — высота в треугольнике , то . Так как высота параллелограмма , то это и высота треугольника . Значит, . Отсюда

(a) Пусть — высота в треугольнике — высота в треугольнике — середина и — проекция на .

Заметим, что так как — высота тетраэдра и высота в треугольнике , то . Мы знаем, что — середина , поэтому ее проекция на это середина , так как — проекция , а проекция . Так как треугольники и равны, то равны и их соответствующие части, а именно . Значит, и поэтому середина . Аналогично остальные проекции на стороны будут серединами. Значит, — центр описанной окружности.

(b) Пусть и . Заметим, что

Из симметрии и относительно центра описанной окружности следует, что

И мы знаем, что

Тогда

Покажем, что треугольник — равносторонний. Действительно,

Таким образом, и треугольник — равносторонний, а значит, угол .

Обозначим точки пересечения прямых и с перпендикуляром из точки к этим прямым за и соответственно.

Тогда, так как угол и — перпендикуляр к плоскости основания, получаем. что

Аналогично для угла

Так как треугольник прямоугольный с гипотенузой то по теореме Пифагора

Аналогично для треугольника

Пусть тогда

По формуле синуса двойного угла получим

Тогда сторона основания равна

Откуда получаем

Так как то

Проведем так как то откуда получим

Построим перпендикуляр Так как — прямоугольник, то

Из прямоугольного треугольника получаем

Построим — проекция на плоскость угол — искомый угол. тогда

Пусть — точка касания сферы и грани Тогда и равные прямоугольные треугольники, в которых катет в два раза меньше гипотенузы.

По теореме Пифагора В правильном треугольнике это радиус описанной окружности, откуда

Соответственно,

Пусть это пирамида , где (то есть основанию перпендикулярны и ). Обозначим сторону квадрата из основания за .

В силу симметрии высоты и к пересекаются в одной точке. Тогда из условия , как угол между высотами к общей прямой двух плоскостей. Далее в силу той же симметрии и , то есть и . Отсюда . Далее заметим, что , поскольку перпендикулярна двум прямым и , откуда . Тогда . Тогда . Осталось найти

То есть высота пирамиды равна стороне основания.

(a) Точки и лежат на окружности с диаметром значит, (т.е. и высоты треугольника Прямая — это проекция прямой на плоскость основания, при этом Тогда по теореме о трёх перпендикулярах т.e.

(b) Поскольку прямые и пересекаются, то все четыре точки и лежат в одной плоскости (назовём её ). Значит, прямые и лежат в одной плоскости а так как они не пересекаются (поскольку лежат в параллельных друг другу основаниях призмы), то Значит, Трапеция вписана в окружность, следовательно, она равнобокая, тогда углы при её основании равны, и поэтому треугольник равнобедренный

Треугольники и подобны по двум углам. Из равенства треугольников и следует, что поэтому оба треугольника и равнобедренные с основаниями и соответственно. Значит, откуда

(c) Если то ; . Значит, площадь основания призмы равна объём призмы равен .