Теорема косинусов, теорема Пифагора, использование теоремы о трёх перпендикулярах

Подсказка 1

Введем обозначения: сторона основания равна a, ∠SBO = β, OM ⊥ BE, ∠CBE = α (это будет переменная величина), ∠EBD = 45° - α, высота пирамиды SO = H, ∠SMO = γ. Попробуйте выразить рёбра.

Подсказка 2

Заметим, что BO = a/√2, OM = a ⋅ sin(45° - α)/√2, BE = a/cos(α). Посмотрим на треугольник SBE. Какие способы нахождения площади в пространстве Вы знаете?

Подсказка 3

Например, отношение площади и ее проекции можно связать с углом наклона.

Подсказка 4

Вычислим площадь треугольника SBE через площадь треугольника BOE, являющегося его проекцией, и cos(γ).

Подсказка 5

Площадь должна быть наименьшей. Возьмите производную и определите, каким условиям должна удовлетворять точка минимума.

Подсказка 6

cos не обращается в 0 на отрезке [0;π/4]. Какому условию тогда должна удовлетворять точка экстремума?

Подсказка 7

Единственный экстремум — это точка a', для которой tg(a') = a² / (4H² + a²). Точкой минимума или максимума будет являться a'?

Подсказка 8

Заметим, что f'(0) = -a² < 0 и f'(π/4) = 8H² > 0, следовательно, a' является точкой минимума. Теперь попробуйте выразить H через угол β.

Подсказка 9

H = arctg(β) / √2, подставьте это в условие для экстремума.

Подсказка 10

CE:CD = CE:BC, а это в точности tg(a').