Теорема косинусов, теорема Пифагора, использование теоремы о трёх перпендикулярах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Одна из высот некоторого тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани. Докажите, что все остальные высоты тетраэдра обладают этим же свойством.
Подсказка 1
Нам нужно получить, что все высоты обладают этим свойством. Может, надо найти какие-то связи между ребрами тетраэдра...
Подсказка 2
Пускай для определенности именно высота DH обладает этим свойством. Тогда H- ортоцентр треугольника ABC. На картинке много прямых углов, пора использовать теорему о трех перпендикулярах!
Подсказка 3
Но применять ее нужно хитро: попробуйте провести через точку A прямую, параллельную BC, и использовать нашу любимую теорему!
Подсказка 4
Получается, что AD перпендикулярна прямой, параллельной BC. Но тогда AD перпендикулярна BC. Это мы выяснили, поработав только с точкой A. Может, нужно поработать с точками B и C...
Подсказка 5
Аналогично рассуждая, можно прийти к тому, что BD перпендикулярна AC и CD перпендикулярна AB. Получается, что скрещивающиеся ребра попарно перпендикулярны. Попробуйте теперь провести высоту AN и доказать, что N- ортоцентр BCD.
Подсказка 6
Достаточно доказать, что BN- отрезок высоты треугольника BCD. Попробуйте провести похожие рассуждения с 3 подсказкой, только с обратной теоремой о трех перпендикулярах, и будет вам счастье!
.png)
Пусть это тетраэдр 
и 
— данная в условии высота, откуда 
.
Проведём 
. Используя теорему о трёх перпендикулярах для 
, имеем
. Аналогично в силу симметрии можно заключить 
. Мы доказали попарную
перпендикулярность противоположных рёбер тетраэдра.
Рассмотрим теперь высоту 
и проведём 
Поскольку 
, то по обратной теореме о трёх
перпендикулярах 
или 
. Значит, 
лежит на высоте грани из вершины 
. Аналогично показываем, что она
лежит и на других высотах, откуда и получаем требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
