Тема . Счёт отрезков в стерео

Теорема косинусов, теорема Пифагора, использование теоремы о трёх перпендикулярах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела счёт отрезков в стерео

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68660

Объём правильной треугольной пирамиды равен одной шестой куба бокового ребра. Найдите плоский угол при вершине.

Показать ответ и решение

Первое решение.

$PIC$

2 V = 1 a3 = 1a-sin(α)h 6 3 2

1a3 = 1a2sin(α)h 6 6

Так как

1 1 2 SCDB = 2a ⋅h = 2a ⋅sin(α),

то

({a⋅h =a2⋅sin(α) ( a= sin(α)h

Решая данную систему, получаем:

2 sin(α)= 1

∘ α= 90

________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть ребро основания равно $AB = a$ , а боковое — $AS = x$ .

$PIC$

Тогда объём пирамиды можно посчитать по формуле (высоту легко найти из теоремы Пифагора)

√ - ∘ ------ V = 1⋅--3a2 x2− a2= 1x3 3 4 3 6

Мы составили уравнение, остаётся понять, что искать. Оказывается, нам достаточно найти $sin∠ASH = AH-= -a AS 2x$ , проще говоря, достаточно найти значение $a x$ . Зная это, преобразуем уравнение, сделав замену $x t= a$ (для этого поделим обе части на $3 a$ )

√ -∘----- --3 t2− 1= t3 ⇐⇒ 3(t2− 1∕3)= t6 ⇐⇒ t6− 3t2+ 1= 0 2 3 4 4 4

После замены $t2 = s$ получаем

3 3 1 s −4s+ 4 = 0

Сразу несложно увидеть решение $s= −1.$ Вынося его, получим

2 (s+ 1)(s − s+ 1∕4)= 0 ⇐⇒

Получаем $s =− 1$ или $s= 1, 2$ откуда $t= ±√1. 2$ Подойдёт только $x= √1 a 2$ , откуда $sin ∠ASH = a-= 1√-= sin45∘ 2x 2$ , значит, $∠ASB = 90∘$ .

Ответ:

$90∘$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Теорема косинусов, теорема Пифагора, использование теоремы о трёх перпендикулярах

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ