Теорема косинусов, теорема Пифагора, использование теоремы о трёх перпендикулярах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пирамиде 
с вершиной 
известно, что 
5 и 
. Найдите длину ребра 
, если вписанная в пирамиду
сфера касается основания в точке пересечения диагоналей четырёхугольника 
.
Источники:
Подсказка 1
Сфера даёт очень много точек касания, а значит, очень много равных отрезков касательных. Попробуйте найти пары равных треугольников (их точно больше 5).
Подсказка 2
Вы получили очень много равных углов, но отдельных равенств недостаточно, тогда как бы их объединить? Вспомните, чему равна сумма углов вокруг точки, и посчитайте такие суммы для точек касания сферы боковых сторон.
Подсказка 3
Из полученных равенств попробуйте найти угол между диагоналями основания. Это знание и поможет посчитать искомую сторону:)
Обозначим точки касания сферы с гранью основания и гранями 
и 
буквами 
и 
соответственно.
По свойству отрезков касательных, соответствующие отрезки касательных к сфере будут равны. Значит, по признаку равенства по трём сторонам будут равны треугольники
а также
Следовательно, будут равны все соответствующие углы этих треугольников.
Поскольку вертикальные углы между диагоналями 
равны, то будут равны углы 
и 
.
Рассматривая суммы углов 
вокруг точек 
и 
получаем, что все углы равны:
Так как эти же углы получаются между диагоналями в основании 
и образуют вокруг точки 
в сумме 
, то углы прямые
и диагонали 
и 
перпендикулярны.
Обозначим длины отрезков 
и 
за 
и 
соответственно. Применяя теорему Пифагора для треугольников
и 
получим равенства:
Складывая первое и третье и вычитая второе равенство, получим 
. Из теоремы Пифагора для
треугольника 
находим отрезок 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
