Теорема косинусов, теорема Пифагора, использование теоремы о трёх перпендикулярах

Пусть дан правильный тетраэдр со стороной в котором проведены высоты и пересекающиеся в точки Отметим середину как и проведём медианы и

В силу того, что тетраэдр правильный, точки и будут является центрами соответствующих граней, а значит будут лежать на и соответственно. Заметим, что четырёхугольник вписанный по двух двух прямым противолежащим углам, следовательно, поэтому Так как и — медианы в правильных треугольниках, они равны Сделаем выносной чертёж треугольника проведя его медиану

Так как треугольник равнобедренный, то является биссектрисой и высотой, поэтому

По теореме Пифагора поэтому

В итоге получаем, что