Пирамиды и призмы с общим основанием

Подсказка 1

Во-первых, надо осознать картинку. Она, как будто, симметричная, но не стоит так думать сразу. Давайте опустим высоты из точки A_1 на прямые AB, AC, и плоскость ABC. Что тогда можно заметить? Какие принципиально разные случаи есть падения высоты на плоскость ABC?

Подсказка 2

Есть два случая - падение во внутрь призмы и во вне. Однако, при всем этом, у нас расстояния от точки A_1’(основание высоты) до прямых AB и AC равны, в силу равенства прямоугольных треугольников. Как тогда можно равносильно переформулировать случаи, когда высота падает во внутрь, а когда наружу? Как связать это с равноудаленностью от сторон?

Подсказка 3

Все верно, либо точка основания высоты лежит на внешней биссектрисе, либо на внутренней(угла BAC). Давайте посмотрим на второй случай. Мы видим, что прямые AA’ и A_1A’ перпендикулярны BC. Что тогда это значит? Чем это хорошо в нашей картинке?

Подсказка 4

Тем, что тогда BB_1 перпендикулярен BC, а значит BB_1C_1C - прямоугольник. Но тогда, если сторона треугольника в основании равна а, выходит, что a * AA_1 = 2, a * A_1K = 3. Тогда, пришли к противоречию, так как A_1K > AA_1. Значит, остался второй случай. Если прямая внутренней биссектрисы, была перпендикулярна прямой BC, то внешняя биссектриса будет…

Подсказка 5

Параллельна! А тогда, высота в параллелограмме CC_1B_1B - высота призмы. Значит, остается найти C_1H. Ну, а это уже чисто дело техники(и нескольких теорем Пифагора).