Тема . Счёт площадей и объёмов

Ортогональные проекции

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела счёт площадей и объёмов
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38769

Докажите, что если все плоские углы при некоторой вершине тетраэдра прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей всех остальных граней тетраэдра.

[Пространственный аналог теоремы Пифагора для прямого тетраэдра]

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте провести прямую к вершине, при которой все плоские углы прямые! Что хорошего можно сказать про получившиеся углы? А про их косинусы?

Подсказка 2

Каждый косинус можно записать как отношение проекции отрезка, лежащего на прямой к самому отрезку! Что можно сказать про сумму квадратов всех косинусов?

Подсказка 3

Да, сумма квадратов косинусов этих углов равна единице! Однако на грани мы пока так и не вышли... А если применить теорему о площади ортогональной проекции? Можно ли выразить площадь грани, противолежащей вершине (у которой все плоские углы прямые), через площади остальных граней?

Подсказка 4

Да, S1/S2 = cos(x). Отношение таких площадей равно одному из косинусов, которые получились при проведении нашей прямой! Тогда что осталось сделать, чтобы доказать требуемое?

Показать ответ и решение

PIC

Пусть это углы при вершине D  в тетраэдре ABCD  . То есть нужно доказать, что

S2ABC = S2ACD +S2ABD + S2BCD

Пусть ∠ADO = α,∠BDO  = β,∠CDO  =γ  . Отсюда cos2α +cos2β +cos2γ = 1  (по сути это сумма квадратов проекций DO  на “оси координат” — стороны тетраэдра, делённая на само DO2  , что равно единице из теоремы Пифагора).

По теореме о площади ортогональной проекции SBCD =SABC ⋅cosα.  Выписывая аналогичные равенства для оставшихся граней, получаем нужное соотношение S2ABC =S2ACD + S2ABD+ S2BCD.

Ответ:

что и требовалось доказать

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!