Ортогональные проекции
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильном тетраэдре 
проведено сечение так, что оно проходит через точки 
, лежащие на ребрах 
соответственно. При этом 
. Найдите угол между плоскостями грани 
и
построенного сечения.
Источники:
Подсказка 1
Аккуратно построим картинку. Кажется, тут явным образом никак не построить линейный угол... Будем искать обходные пути: теорема о площади ортогональной проекции нам поможет! Тетраэдр правильный, поэтому высота к грани АВС будет падать в центр правильного △АВС. При помощи подобия треугольников нетрудно определить в каком отношении проекции точек K, L и М поделят радиусы описанной окружности основания.
Подсказка 2
Рассмотрите центр основания и треугольники, полученные соединением этой точки с вершинами треугольника-проекции. Возможно, получится узнать их площади как части площадей треугольников полученных соединением центра основания с вершинами △ABC. Так мы узнаем площадь проекции!
Подсказка 3
Теорема косинусов поможет нам узнать стороны исходной фигуры-сечения. А уж искать площадь треугольника с известными сторонами мы умеем множеством способов! Осталось применить теорему о площади ортогональной проекции и задача убита.
Примем сторону тетраэдра за 
Угол будем искать через косинус, который равен отношению площади 
треугольника 
проекции треугольника 
на плоскость основания, к площади 
самого треугольника 
- сечения.
Площадь проекции 
определяется несложно, так как вершины 
делят соответствующие радиусы описанной окружности
основания (площадь основания 
) в тех же отношениях что и соответствующие им точки 
делят боковые стороны
тетраэдра. Тогда площади треугольников 
и 
и 
и 
с общим углом при вершине
относятся, как произведение сторон.
Стороны сечения будем вычислять по теореме косинусов: 
. Теперь вычислим площадь сечения.
Косинус угла 
, лежащего напротив стороны 
равен 
. Тогда 
. Для площади сечения получим следующий
результат
Теперь последнее действие: 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
