Случаи расположения точек
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Рассмотрим всевозможные тетраэдры 
, в которых 
. Каждый такой тетраэдр впишем в
цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро 
было параллельно оси цилиндра. Выберем
тетраэдр, для которого радиус цилиндра - наименьший из полученных. Какие значения может принимать длина 
в таком
тетраэдре?
Источники:
Подсказка 1
Давайте подумаем, а как использовать равные отрезки? В каких треугольниках они состоят, что можно отметить в таких фигурах?
Подсказка 2
Отметим E — середину AB в равнобедренных треугольниках ADB и ACB! Какие тогда выводы можно сделать об AB?
Подсказка 3
AB — хорда окружности, перпендикулярной оси цилиндра. Давайте теперь подумаем, а в каких случаях мы смогли бы уменьшить радиус цилиндра?…
Подсказка 4
Мы можем уменьшать радиус цилиндра, если AB не является диаметром указанной окружности. Какие тогда выводы можно сделать из условия на минимальность радиуса цилиндра?
Подсказка 5
Мы должны рассматривать такие тетраэдры, в которых AB является диаметром цилиндра! Давайте теперь попробуем воспользоваться тем, что CD перпендикулярен основанию цилиндра. Что полезного можно отметить?
Подсказка 6
Отметим H — проекцию точек C и D на основание цилиндра! Осталось лишь воспользоваться тем, AB — диаметр, и немного посчитать ;)
Пусть 
— середина 
и 
— медианы равнобедренных треугольников 
и 
, a значит, биссектрисы и высоты. То есть
. Значит, отрезок 
перпендикулярен плоскости 
, следовательно, 
.
Таким образом, 
лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (обозначим эту плоскость через 
). Сечение цилиндра этой
плоскостью — окружность, а 
является хордой этой окружности. Тогда радиус цилиндра минимален, если 
диаметр. Отметим,
что это возможно в силу того, что отрезки 
и 
длиннее, чем 
. Действительно, из треугольников 
и 
следует,
что
Рассмотрим тетраэдр, в котором 
является диаметром цилиндра. Возможны 2 случая: точки 
и 
лежат по одну (этот случай
представлен выше) или по разные стороны плоскости 
.
Пусть 
- проекция точек 
и 
на плоскость 
. Угол 
, так как он вписан в окружность и опирается на её диаметр.
в силу равенства треугольников 
и 
. Тогда 
. По теореме Пифагора в прямоугольных
треугольниках 
и 
соответственно: 
.
Тогда, если точки 
и 
лежат по одну сторону от плоскости 
, то 
. Если точки 
и 
лежат по
разные стороны от плоскости 
, то 
.
Доказано, что 𝐴𝐵 – диаметр цилиндра наименьшего радиуса – 2 балла; если при этом не проверено, что точки 𝐶 и 𝐷 могут лежать на боковой поверхности такого цилиндра (например, можно доказать, что треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐵𝐷 остроугольные; можно сделать, как в решении), то 1 балл вместо 2;
найдены оба значения 𝐶𝐷 – 3 балла;
найдено только одно значение 𝐶𝐷 – 1 балл вместо 3.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
