Случаи расположения точек
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Длина ребра куба 
равна 1. Найдите радиус сферы, проходящей через точку 
и касающейся прямых 
и
.
Источники:
Подсказка 1
Тут у нас и параллельные прямые, и биссектрисса - давайте поищем равные углы. Помним, что биссектрисса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.
Подсказка 2
Верно, получаем MCK равнобедренный. Тогда ОС (где О - центр окружности) - серединный перпендикуляр КМ, а треугольники KOC и МОС равны и равнобедренны. На этом этапе давайте остановимся в изучении чертежа и подумаем, как нам доказать требуемое. Какой признак может указывать на принадлежность точки О описанной окружности BCD?
Подсказка 3
Конечно, в нашем случае проще всего будет доказывать через равенство вписанных углов. Для каких двух углов будет удобнее это доказать?
Подсказка 4
Конечно, легче находится, что OBC и ODC равны и опираются на дугу ОС. Это несложно вывести, если увидеть равенство треугольников BKO и DCO. Теперь остаётся только последовательно всё доказать
Введём декартову систему координат с центром в точке 
, ось абсцисс — луч 
, ось ординат — луч 
, ось аппликат — луч
.
Пусть 
— проекция центра сферы на грань 
куба. Определим ее местоположение. Так как сфера касается прямых 
и проходит через точку 
, то расстояние от точки 
до прямых 
и 
и точки 
одинаково (обозначим его 
).
Тогда 
лежит на луче 
, который является биссектрисой угла 
. Осталось учесть условие, что центр сферы
касается прямой 
, то есть нужно проверить, что расстояние от центра до прямой 
совпадает с радиусом сферы
.
Заметим, что есть два случая расположения точки 
(на рисунке показаны разными цветами):
Случай 1: точка 
лежит на диагонали 
.
Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника 
получим: 
, откуда 
. Значит,
центр сферы 
имеет координаты 
.
Расстояние до прямой 
равно 
. То есть радиус 
Случай 2: точка 
лежит на продолжении луча 
.
Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника 
получим: 
, откуда 
. Значит,
центр сферы 
в этом случае имеет координаты 
.
Расстояние до прямой 
равно 
. То есть радиус 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
