Оптимальная конструкция

Кратчайшим путём вокруг горы на развёртке конуса будет отрезок . Точка — ближайшая к вершине , а значит — высота в треугольнике . Длина окружности основания равна . , поэтому

Итак, в треугольнике известны длины сторон и , а надо найти . По теореме косинусов

По теореме синусов

откуда

Наконец, треугольник прямоугольный и

Пусть и — середины ребер и соответственно. Из соображений симметрии ясно, что ребрами и отрезками линия, о которой идет речь в условии задачи разбивается на 8 равных. Поэтому достаточно рассмотреть точки, принадлежащие треугольнику .

Пусть - одна из таких точек. Тогда кратчайшим путем между и служит отрезок , а кратчайшим путем между и - двухзвенная ломаная , вершина которой принадлежит ребру (в случае имеем просто отрезок . На развертке тетраэдра объединение граней и представляет собой ромб , а ломаная - отрезок в нем. Условие означает, что лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ; следовательно геометрическим местом точек служит отрезок , где - середина ребра (и середина отрезка ) - точка на отрезке , (см рисунок).

Найдем длину отрезка . Легко видеть, что , а отрезок , будучи средней линией треугольника , имеет длину . Поэтому

Умножив это число на 8, получим ответ к задаче:

Докажем, что при пирамида правильная. Пусть стороны треугольника равны Заметим, что в любом треугольнике с углом против этого угла лежит средняя по длине сторона (причём если она строго меньше одной из сторон, то строго больше другой). Пусть одно из боковых рёбер пирамиды не равно например, Тогда в гранях и рёбра и будут меньше и значит, в грани ребро — не средняя сторона, противоречие.

Покажем теперь, как построить неправильную пирамиду с плоскими углами при вершине

Рассмотрим треугольник c и Так как на стороне существует такая точка что Теперь возьмем трёхгранный угол, у которого все плоские углы равны и отложим на его ребрах отрезки Пирамида — искомая.

Рассмотрим тетраэдр удовлетворяющий условию задачи. Заметим, что по условию для любой высоты данного тетраэдра справедливо неравенство где — радиус вписанной сферы, то есть

Пусть — площадь грани, на которую опущена высота Докажем, что Предположим противное. Выберем грань минимальной площади (если таких граней несколько, то берём любую из них). Без нарушения общности можно считать, что её площадь равна (иначе можно ввести переобозначения). Так как не все равны между собой и - наименьшая из них, то

Выразим объём тетраэдра двумя способами:

Отсюда что противоречит неравенству

Итак, все равны, поэтому все равны, так как Обозначим за длину этих равных высот. Из приведённого выше соотношения для объёма получаем то есть неравенство обращается в равенство. Но это возможно только в случае, если высота содержит центр сферы и точку касания с гранью (и так для каждой высоты).

Пусть - основание высоты тетраэдра, опущенной из точки Тогда совпадает с точкой касания сферы и грани Пусть тогда по теореме о касательной и секущей По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника получаем

Аналогично получаем такое же выражение для остальных рёбер тетраэдра, следовательно, они равны между собой, то есть тетраэдр правильный.

Пусть - середины рёбер соответственно. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что и - параллелограммы. Они вписаны в окружности, являющиеся сечениями сферы плоскостями и , поэтому эти параллелограммы - прямоугольники. Угол — прямой; прямые и перпендикулярны, так как

Отметим в плоскости точку такую, что а точки и лежат по разные стороны от прямой (треугольник может быть получен из треугольника поворотом вокруг прямой

Из равенства треугольников и следует, что основания их высот, опущенных на — это одна и та же точка (назовём её Плоскость перпендикулярна (так как поэтому Поскольку и то плоскость перпендикулярна и

Значит, диагонали четырёхугольника пересекаются под прямым углом (в точке ). По теореме Пифагора

Следовательно,

Из прямоугольного треугольника находим

Радиус сферы, описанной около пирамиды , не меньше радиуса окружности, описанной около грани . Пирамида, для которой достигается равенство, существует. Докажем это.

Рассмотрим сферу радиуса и окружность - её сечение, проходящее через центр сферы. В сечении сферы указанной плоскостью получится окружность с диаметром , в которую можно вписать прямоугольный треугольник . По теореме косинусов из треугольника находим, что

По теореме синусов

Пусть корабль находится в некоторой точке Рассмотрим правильный октаэдр описанный возле шара радиуса с центром в точке Докажем, что путь заведомо позволит достигнуть граничной плоскости.

Предположим противное. Тогда вершины октаэдра, а значит, и сам октаэдр (выпуклая оболочка его вершин) лежат строго внутри полупространства. Поэтому вписанный шар октаэдра, радиус которого равен тоже лежит строго внутри полупространства. Получаем противоречие, так как по условию расстояние до граничной плоскости полупространства равно

Покажем теперь, что длина пути меньше Пусть — высота пирамиды Запишем ее объём двумя способами:

Отсюда получаем, что а длина ребра октаэдра равна Поэтому длина пути равна так как

Рассмотрим куб и его сечение плоскостью, проходящей через середины рёбер и

В сечении получится шестиугольник Покажем, что он правильный. Действительно, каждая его сторона равны половине диагонали грани, то есть равна . Из равенства треугольников и (по трём сторонам) следует равенство углов Аналогично показывается равенство всех других внутренних углов шестиугольника. Так как , внутрь шестиугольника (а, значит, и внутрь куба) помещается правильный шестиугольник со стороной .

Примечание: Правильность шестиугольника можно было также доказать, используя тот факт, что он переходит в себя при поворотах на и на относительно диагонали куба

Пусть — середина и — медианы равнобедренных треугольников и , a значит, биссектрисы и высоты. То есть . Значит, отрезок перпендикулярен плоскости , следовательно, .

Таким образом, лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (обозначим эту плоскость через ). Сечение цилиндра этой плоскостью — окружность, а является хордой этой окружности. Тогда радиус цилиндра минимален, если диаметр. Отметим, что это возможно в силу того, что отрезки и длиннее, чем . Действительно, из треугольников и следует, что

Рассмотрим тетраэдр, в котором является диаметром цилиндра. Возможны 2 случая: точки и лежат по одну (этот случай представлен выше) или по разные стороны плоскости .

Пусть - проекция точек и на плоскость . Угол , так как он вписан в окружность и опирается на её диаметр. в силу равенства треугольников и . Тогда . По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках и соответственно: .

Тогда, если точки и лежат по одну сторону от плоскости , то . Если точки и лежат по разные стороны от плоскости , то .

Доказано, что 𝐴𝐵 – диаметр цилиндра наименьшего радиуса – 2 балла; если при этом не проверено, что точки 𝐶 и 𝐷 могут лежать на боковой поверхности такого цилиндра (например, можно доказать, что треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐵𝐷 остроугольные; можно сделать, как в решении), то 1 балл вместо 2;

найдены оба значения 𝐶𝐷 – 3 балла;

найдено только одно значение 𝐶𝐷 – 1 балл вместо 3.

Пусть ребро исходного куба, из которого получился кубооктаэдр, равно 1. Рассмотрим сечения кубооктаэдра плоскостью, параллельной основанию куба, на расстоянии от основания. В сечении будут получаться восьмиугольники, все углы которых равны . Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть точки пересечения плоскости сечения с ребрами куба:

Найдем значение , при котором соседние стороны получающегося в сечении восьмиугольника равны, тогда он окажется правильным. Длина стороны, которая лежит в грани куба, находится из пропорции . Другая сторона — это гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника, длина которой равна . Поэтому достаточно потребовать, чтобы выполнялось равенство , то есть . Итак, правильный восьмиугольник в сечении получиться может.

Предположим, что в сечении кубооктаэдра некоторой плоскостью получился правильный -угольник и . Тогда вершины этого -угольника должны лежать на ребрах кубооктаэдра, причем одному ребру не может принадлежать более двух вершин -угольника. Рассмотрим сечение исходного куба, которое является правильным шестиугольником (на рисунке ниже закрашено серым), а также сечения, которые получаются из данного поворотом на и относительно вертикальной оси куба:

Заметим, что объединение сторон этих четырех правильных шестиугольников есть объединение всех ребер кубооктаэдра. Покажем, что на сторонах какого-то из четырех выбранных правильных шестиугольников лежит хотя бы 3 вершины -угольника. Действительно, если на сторонах каждого такого шестиугольника лежит не более двух вершин, то всего вершин будет не более восьми. Следовательно, плоскость сечения -угольника совпадает с плоскостью этого шестиугольника и в сечении кубооктаҝдра получается шестиугольник. Получаем противоречие.

Пусть — высота пирамиды, — проекция на прямую . Тогда — прямоугольный треугольник с углом , откуда . Аналогично доказывается, что точка удалена от каждой из прямых на расстояние (иначе говоря, окружность радиуса с центром касается прямых .

Треугольники и равны по трем сторонам, поэтому четырёхугольник симметричен относительно диагонали . Его площадь равна , поэтому . Равенство достигается, когда , поэтому .

Точка лежит на внутренней или внешней биссектрисе каждого из углов четырехугольника является внутренней биссектрисой углов и . Внешние биссектрисы углов и параллельны, поэтому обязана лежать на .

Обозначим через и точки пересечения внутренней и внешней биссектрис угла с прямой . Тогда — центр вписанной окружности четырёхугольника (пусть ее радиус равен ); центр окружности, касающейся продолжений сторон четырехугольника (вневписанной окружности, пусть ее радиус равен ). Площадь четырёхугольника, в который вписана окружность может быть задана формулой

откуда . Также

откуда .

Пирамида удовлетворяет условию задачи тогда и только тогда, когда (1) высота проходит через центр вписанной в основание окружности (т.е. ) и при этом её длина равна или (2) высота проходит через центр вневписанной окружности (т.е. ) и .

a) При первый случай невозможен ( ). Поэтому остаётся второй случай, и тогда . Объём равен .

б) Объём в первом и во втором случае равен

Наибольший объём

Опустим перпендикуляры из точки на плоскости и соответственно. Обозначим Согласно условию составим систему уравнений

Отсюда находим Обозначим длины рёбер и через и соответственно.

Лемма:

Доказательство: Введём систему координат с началом в точке как на рисунке. Запишем уравнение плоскости

Так как плоскость не проходит через начало координат, то Значит, можно поделить на Получим:

Теперь поставим в уравнение плоскости точки, в ней лежащие, чтобы найти коэффициенты Итого получим, что А значит уравнение плоскости

Подставив туда координаты принадлежащей этой плоскости точки получим Лемма доказана.

Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для трёх переменных получаем:

причём равенство имеет место при Объём пирамиды поэтому Равенство имеет место при

Обозначив точку пересечения с плоскостью через , получим . В пересечении сферы с плоскостью получается некоторая окружность. Проведём через диаметр этой окружности.

Тогда и — хорды сферы, и по свойству пересекающихся хорд: . Так как , то минимальный радиус окружности больше или равен и значение достигается при , то есть центр этой окружности. Так как , то При этом Значит,

Площадь боковой грани не меньше поэтому

Следовательно, , т.е. перпендикулярно . Аналогично получаем, что и перпендикулярно и . Поэтому объём пирамиды равен

Сумма площадей поверхностей многогранников, на которые разбивается параллелепипед сечениями, равна сумме площади поверхности параллелепипеда и площадей внутренних поверхностей. Сумма площадей внутренних поверхностей равна удвоенной сумме площадей сечений.

Найдем наибольшую возможную площадь сечения, проходящего через диагональ произвольного параллелепипеда с ребрами . Сечением является параллелограмм , вершины которого лежат на противоположных рёбрах параллелепипеда. Площадь параллелограмма равна произведению длины диагонали на расстояние от точки до .

Рассмотрим проекцию параллелепипеда на плоскость, перпендикулярную диагонали . На рисунке видно, что расстояние от точки ломаной до точки , то есть до диагонали , наибольшее, если совпадает с одной из вершин или .

Значит, сечение проходит через одно из ребер параллелепипеда. Таким образом, наибольшую площадь имеет одно из диагональных сечений. Все эти сечения являются прямоугольниками. Найдем наибольшую из их площадей

Из условия следует, что, , и . Поэтому и . Значит, наибольшую площадь имеет сечение, проходящее через наибольшее ребро. По условию наибольшую длину имеет ребро , значит, наибольшую площадь имеют сечения и .

Сумма площадей поверхностей многогранников, на которые разбивается параллелепипед этими сечениями (см. рисунок), равна

Пусть , и — основания перпендикуляров, опущенных из основания высоты пирамиды на стороны соответственно , и основания , причём , , .

По теореме о трёх перпендикулярах , и . Значит, , и — высоты боковых граней пирамиды. По условию задачи = = . Прямоугольные треугольники , и равны по катету и прилежащему острому углу, значит, , то есть точка равноудалена от прямых, на которых лежат стороны треугольника . Следовательно, – либо центр вписанной окружности этого треугольника, либо центр его вневписанной окружности. Обозначим . Заметим, что треугольник —прямоугольный ( ), причём . Пусть — радиус его вписанной окружности, а , и — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон , и соответственно, – площадь треугольника , – его полупериметр. Тогда

Если , , и — высоты пирамиды соответствующей каждому из рассмотренных случаев, то

Поскольку в каждом из этих случаев площадь основания пирамиды одна и та же, объём пирамиды максимален, если максимальна её высота. В свою очередь, максимальная высота соответствует максимальному из найденных четырёх радиусов, то есть . Поэтому

Но так как , , откуда , причем равенство достигается только если радиус равен , и .