Оптимальная конструкция

Рассмотрим куб и его сечение плоскостью, проходящей через середины рёбер и

В сечении получится шестиугольник Покажем, что он правильный. Действительно, каждая его сторона равны половине диагонали грани, то есть равна . Из равенства треугольников и (по трём сторонам) следует равенство углов Аналогично показывается равенство всех других внутренних углов шестиугольника. Так как , внутрь шестиугольника (а, значит, и внутрь куба) помещается правильный шестиугольник со стороной .

Примечание: Правильность шестиугольника можно было также доказать, используя тот факт, что он переходит в себя при поворотах на и на относительно диагонали куба