.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

a) Давайте немного проанализируем, что нам вообще дано. А дано нам, что - по определению это означает, что, какую бы последовательность мы ни взяли, если (и при этом при любом так как мы берём т.н. "проколотые" окрестности точки ), то обязательно
Аналогично, для любой последовательности и при любом мы будем иметь, что

Но что тогда будет с пределом суммы в точке ? Давайте возьмём любую последовательность при любом и подставим в сумму Имеем:

И мы просто пользуемся утверждением из теории последовательностей о том, что предел суммы последовательностей равен сумме пределов (У слагаемых и существуют пределы - это нам попросту дано.)

b) Рассуждаем аналогично. Нам дано, что - по определению это означает, что, какую бы последовательность мы ни взяли, если (и при этом при любом так как мы берём т.н. "проколотые" окрестности точки ), то обязательно
Аналогично, для любой последовательности и при любом мы будем иметь, что
Но тогда если мы возьмём любую последовательность и при любом то произведение

Мы тоже просто пользуемся утверждением про то, что предел произведения последовательностей равен произведению пределов, в случае, когда пределы сомножителей по отдельности существуют. Но это ровно наш случай: пределы и существуют - это нам и дано по условию, они равны соответственно и

Вывод: мы очень часто можем переводить наши утверждения про функции на язык последовательностей и получать доказательства практически "нахаляву", поскольку мы уже проделали основную работу, когда работали с пределами последовательностей.