.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Мы знаем аналогичное свойство для предела последовательности - у последовательности если предел существует, то он единственный. И мы могли бы свести сразу же случай функций к случаю последовательностей. Но давайте для разнообразие докажем, что аналогичное свойства для функций тоже выполняется, но докажем на языке окрестностей.

Итак, пусть и в то же самое время, что причём .

Из того, что следует, что для любой окрестности предела найдется проколотая окрестность такая, что для всех выполнено . В то же время, из того, что следует, что для любой окрестности предела найдется проколотая окрестность такая, что для всех выполнено . Но в качестве окрестностей и двух разных точек мы всегда можем выбрать непересекающиеся окрестности. Тогда, если мы возьмем пересечение двух проколотых окрестностей , то получим новую проколотую окрестность .

И для всех должно быть выполнено, что одновременно и . Но такого быть не может, потому что мы выбрали и так, чтобы .

Мы получили противоречие, следовательно, .