.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

a) Прикинем, к чему стремится если мы будем приближаться к :
Если мы будем рассматривать точки, близкие к но не равные то значение в них будет близко к :
Например:

А если мы будем приближаться к справа, то получим такие значения:

Нетрудно заметить, что хоть слева, хоть справа мы будем стремиться к но значения функции будут близки к Значит, можно выдвинуть гипотезу, что

На более формальном уровне это доказывается следующим образом:
Чтобы доказать, что надо взять любую последовательность при любом и посмотреть, к чему будет стремиться
Но по утверждению про то, что предел суммы последовательностей равен сумме пределов ( мы сами взяли стремящейся к а к и стремится - это же просто константа). Значит, мы доказали, что

b) Это чуть более тонкий случай, однако очень существенно показывающий, почему мы берём именно окрестности когда считаем Прежде всего, мы советуем нарисовать график функции - это будет константа во всех точках, кроме А в нуле по определению равна то есть она ниже на той прямой, которая её изображает во всех остальных точках.

Поначалу можно подумать, что у как раз из-за такого "скачка" в нуле не будет предела. Однако это не так. Ведь мы, когда считаем должны брать только те последовательности которые стремятся к но нигде не равны Но на любой такой последовательности значения всегда равны Следовательно,

Замечание: разумеется, будь наша функция в нуле равна хоть (так чтобы она была просто обыкновенной константой - прямой линией), хоть чему-то ещё другому: не а, скажем, это, как видно из нашего рассуждения, ни на существование, ни на значение предела не повлияло бы.

Более того, функция может быть даже неопределена в точке и всё равно это не повлияет ни на существование, ни на значение её предела

Именно в этом и кроется суть нашего понятия предела функции в точке, на самом деле. Предел показывает, как ведёт себя функция в сколь угодно малой окрестности точки а на само значение в точке нам наплевать - функция там может даже быть неопределена.