.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

a) По определению, чтобы вычислить предел нашей функции в точке нужно взять любую последовательность стремящуюся к но не равную ни при каком (т.е. ) и подставить её в функцию и посмотреть, к чему будет стремиться Так и сделаем.

Берём и подставляем в : Но к чему стремится ? по условию стремится к значит, по утверждению о пределе произведения последовательностей, А, значит, (предел суммы равен сумме пределов)
Таким образом, мы доказали, что

b) Тут рассуждаем аналогично тому, как мы делали в предыдущем пункте этой задачи.
А именно: берём любую последовательность подставляем в и смотрим, к чему стремится :

Мы воспользовались, во-первых, теоремой о том, что предел отношения последовательностей равен отношению их пределов. А когда считали пределы числителя и знаменателя соответственно, пользовались теоремами о пределе произведения и пределе суммы (тоже, разумеется, для последовательностей). Тем самым мы показали, что

c) Здесь может показаться, что будут проблемы из-за того, что мы хотим посчитать предел функции в точке то есть там, где знаменатель дроби у нас вообще не определён. Но это-то как раз не проблема. Нам вообще неважно, определена или нет функция в точке когда мы считаем её предел в этой А даже если и определена, нам неважно, чему она там равна. Нас интересует лишь поведение в малых окрестностях

Таким образом, у нас вообще нет никаких проблем с нашей функцией в этом пункте. Немного её преобразуем: Заметим, что мы поделили на скобку - но мы имеем право на неё делить, когда исследуем поведение функции в проколотых окрестностях нуля. То есть в этих проколотых окрестностях, то есть там, где наша функция - это просто константа, равная Разумеется, предел константы равен самой константе, и мы, тем самым, доказали, что
d) Здесь ровно та же проблема, что и могла бы показаться в предыдущем пункте осложняющей решение, на самом деле ничего не осложняет. Преобразуем слегка для начала нашу функцию: (мы разложили квадратный трёхчлен на множители, найдя его корни; кроме того, опять же таки, в проколотых окрестностях числа мы имеем права делить на скобку поскольку она в них не равна ).

Ну дальше уже понятно, что при функция стремится к Значит, мы доказали, что

e) Итак, давайте для начала тут тоже разделим и числитель и знаменатель дроби на максимальную степень, с которой входит в дробь, то есть, в данном случае, будем делить всё на получим:

Ясно, что числитель этой дроби будет стремиться к т.к. он из себя представляет произведение бесконечно малой на ограниченный Знаменатель, в свою очередь, видно, стремится к Значит, вся дробь, по утверждению о пределе частного стремится к

f) Опять нам поможет соображение, которое состоит в том, чтобы поделить на максимальную степень с которой он входит в дробь. Да, в данном случае эта степень будет но это ничего принципиально не меняет. Что у нас тут есть? под корнем, потом еще под одним корнем, и даже два раза под корнем. Но ясно, что максимальная степень или, как говорят, то, что быстрее всего будет расти на плюс бесконечности - это просто На него и будем делить:

Что же из себя представляет числитель? Это корень из плюс Но понятно, что при эта добавка в числителе () стремится к Значит, числитель стремится к Ещё проще увидеть то, что и знаменатель стремится к Тем самым,

g) Здесь практически та же самая история, что и в пунктах c) и d) нашей задачи. Да, с одной стороны, наша функция в той точке, где мы хотим посчитать предел, то есть в не определена. Но, напоминаем, нас вообще не интересует при исследовании на предел в точке то, что из себя представляет функция в самой точке

В то же самое время в проколотых окрестностях точки наша функция устроена довольно просто - это константа Значит, в этом примере
h) В последних двух пунктах этой задачи поможет разобраться график функции Прикрепляем его ниже:

По графику легко видеть, что точка для этой функции - "хорошая" то есть какую бы последовательность мы ни взяли (с условием, что ), мы и будем стремиться к поскольку в маленьких окрестностях положительных дробных чисел наша функция вообще постоянна, а в маленьких окрестностях отрицательных дробных чисел она возвращает их положительную дробную часть (как в нашем случае).
Следовательно,

i) А вот около всех целых точек, в частности около точки будут проблемы.

Чтобы существовал по определению необходимо, чтобы, какую бы последовательность стремящуюся к но не равной ни при каком мы ни взяли, должна иметь предел. Причём, и это крайне важно, всякий раз (то есть при любой последовательности и ) этот предел должен быть одинаковым!

Но что же будет происходить у нас? По графику видно, что если мы стремимся к справа, то значения функции близки к Если же мы стремимся к слева, то то значения функции близки к Значит ни о каком пределе в точке не может идти и речи.
Чуть более формально: давайте возьмём две различные последовательности и обе из которых стремятся к но - справа, а - слева.
Тогда, с одной стороны конечно, существует и равен И, так же, существует и равен Но у нас при различных стремлениях к получились разные пределы у Такого быть не должно. Следовательно, просто не существует